Номер 1270, страница 323 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1270, страница 323.

1270 Даны два равных и а) параллельных; б) не параллельных отрезка. Постройте центр О поворота, при котором один отрезок отображается на другой.

Для построения центра поворота $O$, который отображает один отрезок на другой равный ему отрезок, необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от взаимного расположения отрезков. Центр поворота — это точка, равноудаленная от соответствующих концов отрезков.

а)

Пусть даны два равных и параллельных отрезка $AB$ и $CD$. Поворот является движением, сохраняющим ориентацию. Если отрезки сонаправлены (например, векторы $\vec{AB}$ и $\vec{CD}$ равны), то одно движение, переводящее $A$ в $C$ и $B$ в $D$ — это параллельный перенос. Параллельный перенос не является поворотом (не имеет центра в конечной части плоскости).

Однако, если отрезки противонаправлены (вектор $\vec{AB}$ противоположен вектору $\vec{CD}$, то есть $\vec{AB} = \vec{DC}$), то существует поворот на $180^\circ$ (центральная симметрия), который отображает один отрезок на другой. В этом случае точка $A$ переходит в $D$, а точка $B$ переходит в $C$.

Центр такого поворота $O$ должен быть равноудален от $A$ и $D$ ($OA=OD$) и от $B$ и $C$ ($OB=OC$). Это означает, что $O$ является серединой отрезков $AD$ и $BC$. В четырехугольнике $ACBD$ диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, $ACBD$ — параллелограмм, а точка $O$ — его центр.

Построение:

1. Соединим конец одного отрезка, например, точку $A$, с концом другого отрезка, точкой $D$.
2. Соединим два других конца — точки $B$ и $C$.
3. Точка пересечения полученных отрезков $AD$ и $BC$ и будет искомым центром поворота $O$.

Также центр $O$ можно построить, найдя середину любого из отрезков, соединяющих противолежащие концы, например, $AD$.

Ответ: Центр поворота $O$ — это точка пересечения отрезков, соединяющих концы одного отрезка с противолежащими концами другого (например, $A$ с $D$ и $B$ с $C$). Этот поворот является центральной симметрией (поворотом на $180^\circ$).

б)

Пусть даны два равных, но не параллельных отрезка $AB$ и $CD$. При повороте один отрезок может отобразиться на другой двумя способами:

1. Точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $B$ — в точку $D$.
2. Точка $A$ переходит в точку $D$, а точка $B$ — в точку $C$.

Рассмотрим первый случай. Если поворот с центром $O$ переводит $A$ в $C$ и $B$ в $D$, то по определению поворота должны выполняться равенства $OA = OC$ и $OB = OD$.

Множество точек, равноудаленных от $A$ и $C$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Множество точек, равноудаленных от $B$ и $D$, — это серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.

Следовательно, центр поворота $O$ является точкой пересечения этих двух серединных перпендикуляров. Поскольку отрезки $AB$ и $CD$ не параллельны, то в общем случае не будут параллельны и отрезки $AC$ и $BD$. Это означает, что их серединные перпендикуляры пересекутся в единственной точке.

Построение:

1. Соединим точки $A$ и $C$, чтобы получить отрезок $AC$.
2. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AC$.
3. Соединим точки $B$ и $D$, чтобы получить отрезок $BD$.
4. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
5. Точка пересечения этих двух серединных перпендикуляров и есть искомый центр поворота $O$.

Примечание: Если окажется, что отрезки $AC$ и $BD$ параллельны, то их серединные перпендикуляры не пересекутся (будут параллельны). В этом случае движение, переводящее $A \to C$ и $B \to D$, является не поворотом, а зеркальным отражением. Тогда для нахождения центра поворота следует рассмотреть второй случай отображения: $A \to D$ и $B \to C$. В этом случае центр поворота будет находиться на пересечении серединных перпендикуляров к отрезкам $AD$ и $BC$. Так как не может быть, чтобы одновременно $AC \parallel BD$ и $AD \parallel BC$ (для неколлинеарных отрезков), то хотя бы один из двух вариантов построения даст искомый центр поворота.

Ответ: Центр поворота $O$ находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим соответствующие концы исходных отрезков (например, $AC$ и $BD$).