Номер 1277, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

129. Применение движений к решению задач. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1277, страница 328.

1277 Существует ли многоугольник, имеющий ровно два центра симметрии? Ответ обоснуйте.

Нет, такого многоугольника не существует.

Обоснуем этот ответ методом от противного. Предположим, что существует многоугольник $M$, который имеет ровно два различных центра симметрии, назовем их $O_1$ и $O_2$.

Обозначим центральную симметрию относительно точки $O_1$ как $S_1$, а относительно точки $O_2$ — как $S_2$. По определению центра симметрии, многоугольник $M$ при этих преобразованиях переходит сам в себя: $S_1(M) = M$ и $S_2(M) = M$.

Рассмотрим композицию этих двух преобразований: $T = S_2 \circ S_1$ (сначала применяется симметрия $S_1$, а затем $S_2$). Поскольку и $S_1$, и $S_2$ отображают многоугольник $M$ на себя, их композиция $T$ также должна отображать многоугольник $M$ на себя:

$T(M) = S_2(S_1(M)) = S_2(M) = M$.

Теперь выясним, что представляет собой преобразование $T$. Пусть $A$ — произвольная точка плоскости. Её образом при симметрии $S_1$ будет точка $A'$, а образом точки $A'$ при симметрии $S_2$ будет точка $A''$.

По определению центральной симметрии, точка $O_1$ является серединой отрезка $AA'$, а точка $O_2$ — серединой отрезка $A'A''$.

Рассмотрим треугольник $AA'A''$. Отрезок $O_1O_2$ соединяет середины двух его сторон ($AA'$ и $A'A''$). Следовательно, $O_1O_2$ является средней линией треугольника $AA'A''$.

По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне и равна её половине. В векторном виде это записывается как $\vec{O_1O_2} = \frac{1}{2}\vec{AA''}$. Отсюда получаем:

$\vec{AA''} = 2\vec{O_1O_2}$.

Это означает, что точка $A''$ получается из точки $A$ путем сдвига на постоянный вектор $\vec{v} = 2\vec{O_1O_2}$. Таким образом, преобразование $T$ является параллельным переносом на вектор $\vec{v}$. Поскольку по нашему предположению точки $O_1$ и $O_2$ различны, вектор переноса $\vec{v}$ не является нулевым.

Итак, мы установили, что многоугольник $M$ должен быть инвариантен относительно параллельного переноса на ненулевой вектор $\vec{v}$. Это означает, что если некоторая точка $P$ принадлежит многоугольнику $M$, то точка $P_1 = P + \vec{v}$ также должна принадлежать $M$. Применив перенос к точке $P_1$, получим, что точка $P_2 = P_1 + \vec{v} = P + 2\vec{v}$ тоже принадлежит $M$. Продолжая этот процесс, мы заключаем, что все точки вида $P + n\vec{v}$ для любого натурального $n$ должны принадлежать $M$. Аналогично, многоугольник инвариантен и относительно обратного переноса на вектор $-\vec{v}$, поэтому все точки $P + k\vec{v}$ для любого целого $k$ (положительного, отрицательного или нуля) принадлежат $M$.

Это означает, что многоугольник $M$ должен быть неограниченной фигурой, простирающейся бесконечно в направлении вектора $\vec{v}$ и в противоположном ему направлении.

Однако многоугольник по своему определению является ограниченной фигурой (это часть плоскости, заключенная внутри замкнутой ломаной линии, и она может быть помещена в круг конечного радиуса). Неограниченная фигура не может быть многоугольником.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, многоугольник не может иметь два или более центров симметрии.

Ответ: нет, не существует.