Номер 1278, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов
Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 3. Симметрии фигур. 129. Применение движений к решению задач - номер 1278, страница 328.
№1278 (с. 328)
Условие. №1278 (с. 328)
скриншот условия
1278 Может ли многоугольник иметь две параллельные оси симметрии? Ответ обоснуйте.
Решение 1. №1278 (с. 328)
Решение 10. №1278 (с. 328)
Решение 11. №1278 (с. 328)
Нет, многоугольник не может иметь две различные параллельные оси симметрии. Обоснуем этот ответ методом от противного.
Предположим, что существует многоугольник $M$, который имеет две различные параллельные оси симметрии, назовем их $l_1$ и $l_2$.
Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $P$ в такую точку $P'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Обозначим симметрию относительно оси $l_1$ как $S_1$, а симметрию относительно оси $l_2$ как $S_2$.
По определению оси симметрии, если многоугольник $M$ симметричен относительно осей $l_1$ и $l_2$, то при каждой из этих симметрий он переходит сам в себя:
$S_1(M) = M$
$S_2(M) = M$
Рассмотрим композицию (последовательное применение) этих двух симметрий: $T = S_2 \circ S_1$. В геометрии известно, что композиция двух симметрий с параллельными осями является параллельным переносом. Вектор этого переноса $\vec{v}$ перпендикулярен осям $l_1$ и $l_2$, а его длина равна удвоенному расстоянию между этими осями.
Поскольку мы предположили, что оси $l_1$ и $l_2$ различны, расстояние между ними не равно нулю, а значит, вектор переноса $\vec{v}$ является ненулевым ($\vec{v} \neq \vec{0}$).
Теперь посмотрим, как преобразование $T$ действует на многоугольник $M$:
$T(M) = (S_2 \circ S_1)(M) = S_2(S_1(M))$
Так как $S_1(M) = M$, то $S_2(S_1(M)) = S_2(M)$.
А так как $S_2(M) = M$, то в итоге получаем, что $T(M) = M$.
Это означает, что многоугольник $M$ переходит сам в себя при параллельном переносе на ненулевой вектор $\vec{v}$.
Однако многоугольник — это ограниченная фигура на плоскости (он имеет конечное число вершин и сторон). Если мы возьмем любую вершину $A_1$ многоугольника $M$, то точка $A_2 = T(A_1)$ также должна принадлежать многоугольнику $M$. Более того, так как параллельный перенос является движением, он переводит вершины в вершины, значит $A_2$ — тоже вершина многоугольника $M$. Применяя перенос многократно, мы получим бесконечную последовательность различных вершин: $A_1, A_2=T(A_1), A_3=T(A_2), \dots, A_{n+1}=T(A_n), \dots$. Все эти точки должны быть вершинами многоугольника $M$.
Но по определению, многоугольник имеет конечное число вершин. Полученное противоречие (бесконечное число вершин у фигуры с конечным числом вершин) доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.
Следовательно, многоугольник не может иметь две различные параллельные оси симметрии.
Ответ: нет, не может.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1278 расположенного на странице 328 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1278 (с. 328), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.