Номер 1278, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 3. Симметрии фигур. 129. Применение движений к решению задач - номер 1278, страница 328.

Условие.

1278 Может ли многоугольник иметь две параллельные оси симметрии? Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Нет, многоугольник не может иметь две различные параллельные оси симметрии. Обоснуем этот ответ методом от противного.

Предположим, что существует многоугольник $M$, который имеет две различные параллельные оси симметрии, назовем их $l_1$ и $l_2$.

Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $P$ в такую точку $P'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Обозначим симметрию относительно оси $l_1$ как $S_1$, а симметрию относительно оси $l_2$ как $S_2$.

По определению оси симметрии, если многоугольник $M$ симметричен относительно осей $l_1$ и $l_2$, то при каждой из этих симметрий он переходит сам в себя:
$S_1(M) = M$
$S_2(M) = M$

Рассмотрим композицию (последовательное применение) этих двух симметрий: $T = S_2 \circ S_1$. В геометрии известно, что композиция двух симметрий с параллельными осями является параллельным переносом. Вектор этого переноса $\vec{v}$ перпендикулярен осям $l_1$ и $l_2$, а его длина равна удвоенному расстоянию между этими осями.

Поскольку мы предположили, что оси $l_1$ и $l_2$ различны, расстояние между ними не равно нулю, а значит, вектор переноса $\vec{v}$ является ненулевым ($\vec{v} \neq \vec{0}$).

Теперь посмотрим, как преобразование $T$ действует на многоугольник $M$:
$T(M) = (S_2 \circ S_1)(M) = S_2(S_1(M))$
Так как $S_1(M) = M$, то $S_2(S_1(M)) = S_2(M)$.
А так как $S_2(M) = M$, то в итоге получаем, что $T(M) = M$.

Это означает, что многоугольник $M$ переходит сам в себя при параллельном переносе на ненулевой вектор $\vec{v}$.

Однако многоугольник — это ограниченная фигура на плоскости (он имеет конечное число вершин и сторон). Если мы возьмем любую вершину $A_1$ многоугольника $M$, то точка $A_2 = T(A_1)$ также должна принадлежать многоугольнику $M$. Более того, так как параллельный перенос является движением, он переводит вершины в вершины, значит $A_2$ — тоже вершина многоугольника $M$. Применяя перенос многократно, мы получим бесконечную последовательность различных вершин: $A_1, A_2=T(A_1), A_3=T(A_2), \dots, A_{n+1}=T(A_n), \dots$. Все эти точки должны быть вершинами многоугольника $M$.

Но по определению, многоугольник имеет конечное число вершин. Полученное противоречие (бесконечное число вершин у фигуры с конечным числом вершин) доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, многоугольник не может иметь две различные параллельные оси симметрии.

Ответ: нет, не может.