Номер 1278, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 3. Симметрии фигур. 129. Применение движений к решению задач - номер 1278, страница 328.

№1278 (с. 328)
Условие. №1278 (с. 328)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 328, номер 1278, Условие

1278 Может ли многоугольник иметь две параллельные оси симметрии? Ответ обоснуйте.

Решение 1. №1278 (с. 328)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 328, номер 1278, Решение 1
Решение 10. №1278 (с. 328)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 328, номер 1278, Решение 10
Решение 11. №1278 (с. 328)

Нет, многоугольник не может иметь две различные параллельные оси симметрии. Обоснуем этот ответ методом от противного.

Предположим, что существует многоугольник $M$, который имеет две различные параллельные оси симметрии, назовем их $l_1$ и $l_2$.

Осевая симметрия относительно прямой $l$ — это преобразование плоскости, которое переводит каждую точку $P$ в такую точку $P'$, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $PP'$. Обозначим симметрию относительно оси $l_1$ как $S_1$, а симметрию относительно оси $l_2$ как $S_2$.

По определению оси симметрии, если многоугольник $M$ симметричен относительно осей $l_1$ и $l_2$, то при каждой из этих симметрий он переходит сам в себя:
$S_1(M) = M$
$S_2(M) = M$

Рассмотрим композицию (последовательное применение) этих двух симметрий: $T = S_2 \circ S_1$. В геометрии известно, что композиция двух симметрий с параллельными осями является параллельным переносом. Вектор этого переноса $\vec{v}$ перпендикулярен осям $l_1$ и $l_2$, а его длина равна удвоенному расстоянию между этими осями.

Поскольку мы предположили, что оси $l_1$ и $l_2$ различны, расстояние между ними не равно нулю, а значит, вектор переноса $\vec{v}$ является ненулевым ($\vec{v} \neq \vec{0}$).

Теперь посмотрим, как преобразование $T$ действует на многоугольник $M$:
$T(M) = (S_2 \circ S_1)(M) = S_2(S_1(M))$
Так как $S_1(M) = M$, то $S_2(S_1(M)) = S_2(M)$.
А так как $S_2(M) = M$, то в итоге получаем, что $T(M) = M$.

Это означает, что многоугольник $M$ переходит сам в себя при параллельном переносе на ненулевой вектор $\vec{v}$.

Однако многоугольник — это ограниченная фигура на плоскости (он имеет конечное число вершин и сторон). Если мы возьмем любую вершину $A_1$ многоугольника $M$, то точка $A_2 = T(A_1)$ также должна принадлежать многоугольнику $M$. Более того, так как параллельный перенос является движением, он переводит вершины в вершины, значит $A_2$ — тоже вершина многоугольника $M$. Применяя перенос многократно, мы получим бесконечную последовательность различных вершин: $A_1, A_2=T(A_1), A_3=T(A_2), \dots, A_{n+1}=T(A_n), \dots$. Все эти точки должны быть вершинами многоугольника $M$.

Но по определению, многоугольник имеет конечное число вершин. Полученное противоречие (бесконечное число вершин у фигуры с конечным числом вершин) доказывает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, многоугольник не может иметь две различные параллельные оси симметрии.

Ответ: нет, не может.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1278 расположенного на странице 328 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1278 (с. 328), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.