Номер 1285, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

129. Применение движений к решению задач. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1285, страница 328.

1285 Постройте квадрат, если даны его центр и две точки, лежащие на прямых, содержащих параллельные стороны квадрата.

Для решения задачи воспользуемся свойствами симметрии квадрата. Центр квадрата $O$ является его центром симметрии. Это означает, что при центральной симметрии относительно точки $O$ квадрат переходит сам в себя. В частности, прямая, содержащая одну из сторон квадрата, переходит в прямую, содержащую противоположную (параллельную ей) сторону.

Пусть даны центр квадрата $O$, точка $M$, лежащая на прямой $l_1$ (содержащей одну сторону), и точка $N$, лежащая на прямой $l_2$ (содержащей противоположную сторону, $l_1 \parallel l_2$). Так как $l_2$ является образом $l_1$ при центральной симметрии относительно $O$, то образ точки $M$ при этой симметрии, точка $M'$, должен лежать на прямой $l_2$. Таким образом, мы получаем две точки ($N$ и $M'$) на прямой $l_2$, что позволяет нам ее построить. После этого построение остальных элементов квадрата становится прямолинейной задачей.

Анализ и план построения

1. Построить точку $M'$, симметричную точке $M$ относительно центра $O$.
2. Провести прямую $l_2$ через точки $N$ и $M'$. Эта прямая содержит одну из сторон квадрата.
3. Провести прямую $l_1$ через точку $M$ параллельно прямой $l_2$. Эта прямая содержит противоположную сторону квадрата.
4. Определить сторону квадрата $a$. Она равна расстоянию между прямыми $l_1$ и $l_2$. Для этого нужно провести перпендикуляр из точки $O$ к одной из прямых, например, к $l_1$. Пусть $P$ — основание этого перпендикуляра. Тогда расстояние от центра до стороны равно $OP$, а вся сторона квадрата $a = 2 \cdot OP$.
5. Построить две другие стороны квадрата. Они лежат на прямых $l_3$ и $l_4$, перпендикулярных $l_1$ и $l_2$. Эти прямые также находятся на расстоянии $OP$ от центра $O$.
6. Вершины квадрата находятся в точках пересечения построенных прямых $l_1, l_2, l_3, l_4$.

Построение

1. Соединяем точку $M$ с центром $O$ и на продолжении луча $MO$ за точку $O$ откладываем отрезок $OM' = OM$. Точка $M'$ симметрична $M$ относительно $O$.
2. Проводим прямую $l_2$ через точки $N$ и $M'$.
3. Через точку $M$ проводим прямую $l_1$ параллельно прямой $l_2$.
4. Из точки $O$ опускаем перпендикуляр на прямую $l_1$. Обозначим основание перпендикуляра точкой $P$.
5. Через точку $O$ проводим прямую $m$, перпендикулярную прямой $OP$.
6. На прямой $m$ от точки $O$ в обе стороны откладываем отрезки $OR$ и $OS$, равные отрезку $OP$.
7. Через точку $R$ проводим прямую $l_3$ параллельно прямой $OP$ (т.е. перпендикулярно $l_1$).
8. Через точку $S$ проводим прямую $l_4$ параллельно прямой $OP$ (т.е. перпендикулярно $l_1$).
9. Прямые $l_1, l_2, l_3, l_4$ образуют искомый квадрат. Его вершины являются точками пересечения этих прямых.

Исследование

Рассмотрим возможные случаи расположения исходных точек.

1. Общий случай: Точка $N$ не совпадает с точкой $M'$ (т.е. точка $N$ не является симметричной точке $M$ относительно центра $O$).

   В этом случае точки $N$ и $M'$ различны, и через них можно провести единственную прямую $l_2$. Все последующие шаги построения также выполняются однозначно. Однако этот метод позволяет построить только одно из двух возможных решений. Чтобы получить второе решение, следует воспользоваться методом поворота, который показывает, что в общем случае существует два квадрата, удовлетворяющих условию.

   Идея второго решения заключается в следующем: если в первом решении прямые, содержащие $M$ и $N$, были $l_1$ и $l_2$, то во втором решении эти же точки $M$ и $N$ будут лежать на другой паре параллельных сторон $l_3$ и $l_4$. Метод, использующий поворот на $\pm90^\circ$ вокруг центра $O$, позволяет построить оба решения.

2. Особый случай: Точка $N$ совпадает с точкой $M'$ (т.е. $N$ — образ $M$ при центральной симметрии относительно $O$).

   В этом случае шаг 2 построения (проведение прямой $l_2$ через $N$ и $M'$) становится неопределенным, так как точки совпадают. Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых. Любая прямая $l_2$, проходящая через точку $N$, может быть взята за основу. Для каждой такой прямой $l_2$ можно построить соответствующую ей прямую $l_1$ (проходит через $M$ параллельно $l_2$) и затем достроить квадрат. Таким образом, в этом особом случае задача имеет бесконечное множество решений.

Ответ:

Алгоритм построения одного из решений задачи описан выше. В общем случае, когда данная точка $N$ не является центрально-симметричной образу данной точки $M$ относительно центра $O$, задача имеет два решения. В особом случае, когда точки $M$ и $N$ центрально-симметричны относительно $O$, задача имеет бесконечное множество решений.