Номер 1280, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

129. Применение движений к решению задач. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1280, страница 328.

1280 Постройте фигуру, обладающую поворотной симметрией, составленную из равных а) равносторонних треугольников; б) ромбов.

а)

Фигура обладает поворотной симметрией, если она совпадает сама с собой при повороте вокруг некоторой точки (центра симметрии) на угол, меньший $360^\circ$.

Для построения такой фигуры из равных равносторонних треугольников воспользуемся тем, что все углы равностороннего треугольника равны $60^\circ$. Чтобы составить фигуру с центром симметрии, нужно соединить несколько треугольников вершинами в одной общей точке. Для того чтобы треугольники полностью заполнили пространство вокруг этой точки, сумма их углов при этой общей вершине должна составлять $360^\circ$.

Поскольку угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$, для полного оборота потребуется $360^\circ / 60^\circ = 6$ треугольников.

Построение:
1. Возьмем шесть равных равносторонних треугольников.
2. Выберем у каждого треугольника по одной вершине.
3. Совместим все шесть выбранных вершин в одной точке, которая станет центром симметрии будущей фигуры.
4. Расположим треугольники так, чтобы они примыкали друг к другу боковыми сторонами без наложений.

В результате такого построения получится правильный шестиугольник. Эта фигура обладает поворотной симметрией 6-го порядка, так как при повороте на угол $\alpha = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$ вокруг своего центра она переходит сама в себя.

Ответ: Фигура, составленная из 6 равных равносторонних треугольников, соединенных в одной общей вершине, образующая правильный шестиугольник.

б)

Для построения фигуры с поворотной симметрией из равных ромбов поступим аналогично. Соединим несколько ромбов вершинами в одной точке так, чтобы сумма углов в этой точке была равна $360^\circ$.

Пусть мы используем $n$ одинаковых ромбов, соединяя их вершинами с углом $\alpha$. Для этого должно выполняться равенство $n \cdot \alpha = 360^\circ$. Это значит, что величина угла $\alpha$ должна быть делителем числа 360.

Рассмотрим один из возможных вариантов.
Пусть количество ромбов $n = 3$. Тогда угол $\alpha$, которым ромбы соединяются в центре, должен быть равен $360^\circ / 3 = 120^\circ$. Так как сумма соседних углов ромба равна $180^\circ$, второй угол ромба будет равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Построение:
1. Возьмем три равных ромба, углы которых равны $120^\circ$ и $60^\circ$.
2. Совместим их вершины с тупыми углами ($120^\circ$) в одной общей точке O.
3. Расположим ромбы так, чтобы они прилегали друг к другу сторонами.

Полученная фигура будет обладать поворотной симметрией 3-го порядка. Угол поворота, при котором она совмещается сама с собой, равен $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Ответ: Например, фигура, составленная из 3 равных ромбов с углами $120^\circ$ и $60^\circ$, соединенных вершинами с углами $120^\circ$ в одной точке.