Номер 2, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 2, страница 328.

2 Докажите, что осевая симметрия является преобразованием плоскости.

Чтобы доказать, что осевая симметрия является преобразованием плоскости, необходимо доказать, что это отображение плоскости на себя является взаимно однозначным (биективным). Биективное отображение — это отображение, которое одновременно является инъективным и сюръективным.

• Инъективность означает, что разным точкам соответствуют разные образы.
• Сюръективность означает, что для любой точки на плоскости существует прообраз (т.е. в любую точку плоскости переходит какая-либо точка).

Рассмотрим осевую симметрию относительно произвольной прямой $l$. Обозначим это преобразование как $S_l$. По определению, для любой точки $M$ плоскости её образ $M' = S_l(M)$ — это точка, для которой отрезок $MM'$ перпендикулярен прямой $l$ и делится этой прямой пополам. Если точка $M$ лежит на прямой $l$, то она отображается сама в себя ($M' = M$).

Доказательство инъективности

Нужно доказать, что если $S_l(M_1) = S_l(M_2)$, то $M_1 = M_2$.

Сначала установим важное свойство осевой симметрии: она является преобразованием, обратным самой себе. Если $M' = S_l(M)$, то по определению отрезок $MM'$ перпендикулярен $l$ и его середина лежит на $l$. Но эти же условия выполняются и для отрезка $M'M$, поэтому образом точки $M'$ при симметрии $S_l$ будет точка $M$. Таким образом, для любой точки $M$ справедливо равенство $S_l(S_l(M)) = M$.

Пусть $S_l(M_1) = S_l(M_2)$. Применим к обеим частям этого равенства преобразование $S_l$:

$S_l(S_l(M_1)) = S_l(S_l(M_2))$

Используя установленное выше свойство, получаем:

$M_1 = M_2$

Это доказывает, что отображение инъективно: разные точки не могут перейти в одну и ту же.

Доказательство сюръективности

Нужно доказать, что для любой точки $N$ на плоскости существует точка $M$ (её прообраз) такая, что $S_l(M) = N$.

Возьмём произвольную точку $N$ на плоскости. В качестве её прообраза $M$ рассмотрим точку, которая является образом самой точки $N$ при симметрии $S_l$, то есть положим $M = S_l(N)$.

Теперь найдём образ точки $M$ при преобразовании $S_l$:

$S_l(M) = S_l(S_l(N))$

Так как преобразование $S_l$ обратно самому себе, $S_l(S_l(N)) = N$. Следовательно, $S_l(M) = N$.

Мы показали, что для любой точки $N$ на плоскости существует прообраз $M$, а значит, отображение сюръективно.

Поскольку осевая симметрия является одновременно инъективным и сюръективным отображением, она является биекцией плоскости на себя, что по определению и означает, что это преобразование плоскости. Что и требовалось доказать.

Ответ: Осевая симметрия является преобразованием плоскости, так как она представляет собой взаимно однозначное отображение (биекцию) плоскости на себя, что доказано через проверку свойств инъективности и сюръективности.