Номер 1282, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
129. Применение движений к решению задач. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1282, страница 328.
№1282 (с. 328)
Условие. №1282 (с. 328)
скриншот условия

1282 На прямой а даны три точки А, В и С, причём точка В лежит между точками А и С. По одну сторону от этой прямой построены равносторонние треугольники АВМ и ВСN. Докажите, что отрезки АN и МС равны, и найдите угол между ними.
Решение 1. №1282 (с. 328)

Решение 10. №1282 (с. 328)

Решение 11. №1282 (с. 328)
Докажите, что отрезки AN и MC равны
Рассмотрим треугольники $ABN$ и $MBC$.
По условию, треугольники $ABM$ и $BCN$ являются равносторонними. Это означает, что все их стороны равны, а все углы равны $60^\circ$.
Следовательно, мы имеем следующие равенства сторон:
$AB = MB$ (как стороны $\triangle ABM$);
$BC = BN$ (как стороны $\triangle BCN$).
Также нам известны углы: $\angle ABM = 60^\circ$ и $\angle CBN = 60^\circ$.
Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой $a$, угол $\angle ABC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Так как треугольники $ABM$ и $BCN$ построены по одну сторону от прямой $a$, мы можем найти угол $\angle MBN$:
$\angle MBN = \angle ABC - \angle ABM - \angle CBN = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
Теперь найдем углы, входящие в треугольники $ABN$ и $MBC$:
$\angle ABN = \angle ABM + \angle MBN = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
$\angle MBC = \angle MBN + \angle CBN = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.
Таким образом, $\angle ABN = \angle MBC$.
Мы установили, что в треугольниках $ABN$ и $MBC$ стороны $AB = MB$, $BN = BC$ и угол между ними $\angle ABN = \angle MBC$.
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABN = \triangle MBC$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон: $AN = MC$.
Ответ: Равенство отрезков $AN$ и $MC$ доказано.
найдите угол между ними
Пусть отрезки $AN$ и $MC$ пересекаются в точке $P$. Угол между ними — это один из углов, образовавшихся при их пересечении, например, $\angle MPC$.
Из доказанного выше равенства треугольников $\triangle ABN = \triangle MBC$ следует равенство их соответственных углов: $\angle BNA = \angle BCM$. Обозначим величину этих равных углов как $\alpha$.
Пусть отрезок $MC$ пересекает отрезок $BN$ в точке $Q$.
Рассмотрим треугольник $BQC$. В нем:
- $\angle QBC = \angle NBC = 60^\circ$ (так как $\triangle BCN$ равносторонний).
- $\angle BCQ = \angle BCM = \alpha$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle BQC$ равен:
$\angle BQC = 180^\circ - (\angle QBC + \angle BCQ) = 180^\circ - (60^\circ + \alpha) = 120^\circ - \alpha$.
Теперь рассмотрим треугольник $PQN$.
- Угол $\angle PQN$ и угол $\angle BQC$ являются вертикальными, следовательно, они равны: $\angle PQN = \angle BQC = 120^\circ - \alpha$.
- Угол $\angle PNQ$ — это тот же угол, что и $\angle BNA$, то есть $\angle PNQ = \alpha$.
Искомый угол $\angle NPQ$ (который равен углу $\angle MPC$) находим из суммы углов треугольника $PQN$:
$\angle NPQ = 180^\circ - (\angle PQN + \angle PNQ) = 180^\circ - ((120^\circ - \alpha) + \alpha) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Таким образом, угол между отрезками $AN$ и $MC$ равен $60^\circ$.
Ответ: $60^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1282 расположенного на странице 328 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1282 (с. 328), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.