Номер 3, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 3, страница 328.

3 Докажите, что центральная симметрия является преобразованием плоскости.

Преобразование плоскости — это взаимно однозначное (биективное) отображение плоскости на себя. Чтобы доказать, что центральная симметрия является преобразованием плоскости, необходимо показать, что она является биекцией, то есть одновременно инъективным и сюръективным отображением.

• Инъективность означает, что разным точкам плоскости соответствуют разные образы.
• Сюръективность означает, что любая точка плоскости является образом некоторой другой точки.

Рассмотрим центральную симметрию $S_O$ относительно центра $O$. По определению, для любой точки $M$ её образ $M' = S_O(M)$ таков, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Доказательство через геометрические свойства

1. Доказательство инъективности

Докажем от противного. Предположим, что существуют две различные точки $M_1$ и $M_2$ ($M_1 \neq M_2$), которые при симметрии относительно центра $O$ переходят в одну и ту же точку $M'$. То есть, $S_O(M_1) = M'$ и $S_O(M_2) = M'$.

Из определения центральной симметрии следует, что $O$ — середина отрезка $M_1M'$, и одновременно $O$ — середина отрезка $M_2M'$. Однако для любой точки $M'$ существует ровно одна точка, симметричная ей относительно центра $O$. Эта точка лежит на прямой, проходящей через $M'$ и $O$, по другую сторону от $O$ и на том же расстоянии. Следовательно, точки $M_1$ и $M_2$ должны совпадать.

Это противоречит нашему исходному предположению, что $M_1 \neq M_2$. Значит, предположение неверно, и разным точкам соответствуют разные образы. Инъективность доказана.

2. Доказательство сюръективности

Пусть $P$ — произвольная точка на плоскости. Требуется доказать, что существует такая точка $M$, что её образ при симметрии относительно $O$ есть точка $P$, то есть $S_O(M) = P$.

Построим точку $M$, симметричную точке $P$ относительно центра $O$. По определению, это означает, что $O$ является серединой отрезка $MP$.

Теперь найдем образ точки $M$ при симметрии $S_O$. Пусть $S_O(M) = M'$. По определению, $O$ — середина отрезка $MM'$.

Поскольку точка, симметричная точке $M$ относительно $O$, единственна, а по построению и точка $P$, и точка $M'$ симметричны $M$ относительно $O$, то точки $P$ и $M'$ должны совпадать: $P = M'$.

Мы показали, что для любой точки $P$ плоскости существует прообраз $M$. Следовательно, отображение сюръективно.

Альтернативное доказательство с использованием координат

Введем на плоскости декартову систему координат так, чтобы центр симметрии $O$ совпал с началом координат $(0, 0)$.

Пусть произвольная точка $M$ имеет координаты $(x, y)$. Найдем координаты ее образа $M'(x', y')$. Поскольку точка $O(0, 0)$ — середина отрезка $MM'$, то ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек $M$ и $M'$: $$ \frac{x+x'}{2} = 0 \implies x' = -x $$ $$ \frac{y+y'}{2} = 0 \implies y' = -y $$ Таким образом, центральная симметрия относительно начала координат переводит каждую точку $M(x, y)$ в точку $M'(-x, -y)$.

Теперь докажем биективность этого отображения.

1. Инъективность: Пусть есть две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, и их образы совпадают: $S_O(M_1) = S_O(M_2)$. Их образы имеют координаты $M'_1(-x_1, -y_1)$ и $M'_2(-x_2, -y_2)$. Равенство $M'_1 = M'_2$ означает равенство их координат: $$ -x_1 = -x_2 \implies x_1 = x_2 $$ $$ -y_1 = -y_2 \implies y_1 = y_2 $$ Поскольку координаты точек $M_1$ и $M_2$ совпадают, то и сами точки совпадают: $M_1 = M_2$. Это доказывает инъективность.

2. Сюръективность: Пусть $P(a, b)$ — произвольная точка на плоскости. Найдем точку $M(x, y)$, которая переходит в точку $P$ при данной симметрии, то есть $S_O(M) = P$. Образ точки $M(x, y)$ — это точка $M'(-x, -y)$. Мы хотим, чтобы $M' = P$: $$ -x = a \implies x = -a $$ $$ -y = b \implies y = -b $$ Таким образом, для любой точки $P(a, b)$ существует прообраз — точка $M(-a, -b)$. Это доказывает сюръективность.

Оба метода доказательства показывают, что центральная симметрия является инъективным и сюръективным отображением, а значит, является биекцией плоскости на себя.

Ответ: Доказано, что центральная симметрия является биективным отображением плоскости на себя. По определению, это означает, что центральная симметрия является преобразованием плоскости.