Номер 1281, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

129. Применение движений к решению задач. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1281, страница 328.

1281 Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что отрезки прямых, заключённые внутри квадрата, равны.

Пусть дан квадрат, центр которого обозначим точкой O. Через точку O проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Назовем одну прямую $l_1$, а другую $l_2$. Прямая $l_1$ пересекает стороны квадрата в точках M и N, а прямая $l_2$ — в точках P и K. Отрезки прямых, заключенные внутри квадрата, — это MN и PK. Требуется доказать, что их длины равны, то есть $MN = PK$.

Для доказательства воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно поворотом фигуры вокруг ее центра.

Рассмотрим поворот на угол $90^{\circ}$ вокруг центра квадрата — точки O.

1. Квадрат является фигурой, симметричной относительно своего центра. При повороте на $90^{\circ}$ вокруг центра O квадрат отображается сам на себя.

2. Прямая $l_1$ проходит через центр поворота O. При повороте на $90^{\circ}$ она перейдет в прямую, которая также проходит через точку O и составляет с прямой $l_1$ угол $90^{\circ}$. По условию задачи, прямые $l_1$ и $l_2$ взаимно перпендикулярны ($l_1 \perp l_2$). Это означает, что образом прямой $l_1$ при данном повороте является в точности прямая $l_2$.

3. Отрезок MN представляет собой пересечение прямой $l_1$ и квадрата. Следовательно, при повороте образом отрезка MN будет пересечение образа прямой $l_1$ и образа квадрата.

4. Как мы установили выше, образом прямой $l_1$ является прямая $l_2$, а образом квадрата — сам квадрат. Таким образом, образом отрезка MN является пересечение прямой $l_2$ и квадрата, то есть отрезок PK.

5. Поворот является движением (изометрией). Ключевое свойство любого движения заключается в том, что оно сохраняет расстояния. Это значит, что длина любого отрезка равна длине его образа.

Из этого следует, что длина отрезка MN равна длине его образа — отрезка PK. Следовательно, $MN = PK$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки взаимно перпендикулярных прямых, проведенных через центр квадрата и заключенных внутри него, равны, так как один отрезок может быть получен из другого поворотом на $90^{\circ}$ вокруг центра квадрата, а поворот является движением и сохраняет длины.