Номер 1283, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

129. Применение движений к решению задач. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1283, страница 328.

1283 Решите предыдущую задачу при условии, что точки А, В и С являются вершинами треугольника, а равносторонние треугольники АВМ и ВСN построены внешним образом на его сторонах АВ и ВС.

Поскольку условие задачи ссылается на предыдущую задачу (1282), текст которой не предоставлен, мы будем решать наиболее распространенную постановку для данной геометрической конфигурации. Обычно в таких задачах требуется:

а) Доказать, что отрезки $AN$ и $MC$ равны.

б) Найти угол между прямыми $AN$ и $MC$.

а) Доказательство равенства отрезков AN и MC

Рассмотрим треугольники $ABN$ и $MBC$.

1. Сторона $AB$ треугольника $ABN$ равна стороне $MB$ треугольника $MBC$, так как они являются сторонами равностороннего треугольника $ABM$. Таким образом, $AB = MB$.

2. Сторона $BN$ треугольника $ABN$ равна стороне $BC$ треугольника $MBC$, так как они являются сторонами равностороннего треугольника $BCN$. Таким образом, $BN = BC$.

3. Найдем углы $\angle ABN$ и $\angle MBC$. Угол $\angle ABN$ состоит из угла $\angle ABC$ и угла $\angle CBN$. Так как треугольник $BCN$ равносторонний, $\angle CBN = 60^\circ$. Следовательно, $\angle ABN = \angle ABC + 60^\circ$.

Аналогично, угол $\angle MBC$ состоит из угла $\angle ABC$ и угла $\angle MBA$. Так как треугольник $ABM$ равносторонний, $\angle MBA = 60^\circ$. Следовательно, $\angle MBC = \angle ABC + 60^\circ$.

Таким образом, мы имеем $\angle ABN = \angle MBC$.

4. У нас есть две стороны и угол между ними в треугольнике $ABN$ (стороны $AB$, $BN$ и угол $\angle ABN$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $MBC$ (стороны $MB$, $BC$ и угол $\angle MBC$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), треугольники $ABN$ и $MBC$ равны: $\triangle ABN \cong \triangle MBC$.

5. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AN$ в треугольнике $ABN$ соответствует стороне $MC$ в треугольнике $MBC$.

Следовательно, $AN = MC$.

Ответ: Равенство $AN = MC$ доказано.

б) Нахождение угла между прямыми AN и MC

Для нахождения угла воспользуемся методом, использующим свойства точки Ферма.

1. Пусть $\omega_1$ — описанная окружность равностороннего треугольника $ABM$, а $\omega_2$ — описанная окружность равностороннего треугольника $BCN$.

2. Обе окружности проходят через точку $B$. Пусть $F$ — вторая точка их пересечения (если точки $A, B, C$ не лежат на одной прямой, то окружности не могут просто касаться в точке $B$, поэтому вторая точка пересечения $F$ существует и отлична от $B$).

3. Точки $A, B, M, F$ лежат на окружности $\omega_1$. Угол $\angle AMB$ вписан в эту окружность и равен $60^\circ$. Угол $\angle AFB$ опирается на ту же дугу $AB$, что и угол $\angle AMB$, но находится с другой стороны от хорды $AB$. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$. Отсюда, $\angle AFB = 180^\circ - \angle AMB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

4. Аналогично, точки $B, C, N, F$ лежат на окружности $\omega_2$. Угол $\angle BNC = 60^\circ$. Угол $\angle BFC$ опирается на ту же дугу $BC$, что и $\angle BNC$, но с другой стороны. Следовательно, $\angle BFC = 180^\circ - \angle BNC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

5. Докажем, что точки $M, F, C$ лежат на одной прямой (коллинеарны). Для этого нужно показать, что угол $\angle MFC = 180^\circ$. Этот угол можно представить как сумму углов $\angle MFB$ и $\angle BFC$. Мы уже знаем, что $\angle BFC = 120^\circ$.

6. Найдем угол $\angle MFB$. В вписанном четырехугольнике $ABMF$ сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Также вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $\angle MFB$ и $\angle MAB$ опираются на дугу $MB$. Так как $\triangle ABM$ равносторонний, $\angle MAB = 60^\circ$. Значит, $\angle MFB = 60^\circ$.

7. Теперь сложим углы: $\angle MFC = \angle MFB + \angle BFC = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $M, F, C$ лежат на одной прямой. Таким образом, точка $F$ лежит на прямой $MC$.

8. Аналогично докажем, что точки $A, F, N$ коллинеарны. Рассмотрим угол $\angle AFN = \angle AFB + \angle BFN$. Мы знаем, что $\angle AFB = 120^\circ$.

9. Найдем угол $\angle BFN$. В вписанном четырехугольнике $BCNF$ углы $\angle BFN$ и $\angle BCN$ опираются на одну дугу $BN$. Так как $\triangle BCN$ равносторонний, $\angle BCN = 60^\circ$. Значит, $\angle BFN = 60^\circ$.

10. Сложим углы: $\angle AFN = \angle AFB + \angle BFN = 120^\circ + 60^\circ = 180^\circ$. Это означает, что точки $A, F, N$ лежат на одной прямой. Таким образом, точка $F$ лежит на прямой $AN$.

11. Поскольку точка $F$ лежит и на прямой $MC$, и на прямой $AN$, она является точкой их пересечения.

12. Угол между прямыми $AN$ и $MC$ — это угол, под которым они пересекаются в точке $F$. Например, это $\angle AFC$. Сумма углов вокруг точки $F$ равна $360^\circ$. Мы имеем $\angle AFB = 120^\circ$ и $\angle BFC = 120^\circ$. Тогда $\angle AFC = 360^\circ - \angle AFB - \angle BFC = 360^\circ - 120^\circ - 120^\circ = 120^\circ$.

13. По определению, угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из четырех образовавшихся углов. Углы при пересечении равны $120^\circ$ и $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Наименьший из них — $60^\circ$.

Ответ: Угол между прямыми $AN$ и $MC$ равен $60^\circ$.