Номер 5, страница 328 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 5, страница 328.
№5 (с. 328)
Условие. №5 (с. 328)
скриншот условия

5 Докажите, что осевая симметрия является движением.
Решение 2. №5 (с. 328)

Решение 4. №5 (с. 328)

Решение 11. №5 (с. 328)
Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Чтобы доказать, что осевая симметрия является движением, необходимо показать, что для любых двух точек $M$ и $N$ расстояние между ними равно расстоянию между их образами $M'$ и $N'$ при осевой симметрии. То есть, нужно доказать, что $|MN| = |M'N'|$.
Для доказательства воспользуемся методом координат. Пусть $l$ — произвольная прямая, являющаяся осью симметрии. Введем прямоугольную систему координат так, чтобы ось $l$ совпала с осью абсцисс ($Ox$).
Пусть $M$ и $N$ — две произвольные точки на плоскости с координатами $M(x_1, y_1)$ и $N(x_2, y_2)$.
При симметрии относительно оси $Ox$ каждая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x, -y)$. Следовательно, образами точек $M$ и $N$ будут точки $M'(x_1, -y_1)$ и $N'(x_2, -y_2)$ соответственно.
Теперь найдем квадраты расстояний между точками $M$ и $N$ и между точками $M'$ и $N'$, используя формулу расстояния между двумя точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$: $|AB|^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$.
Квадрат расстояния между точками $M$ и $N$: $|MN|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
Квадрат расстояния между их образами $M'$ и $N'$: $|M'N'|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (-y_2 - (-y_1))^2 = (x_2 - x_1)^2 + (-y_2 + y_1)^2$
Так как $(-y_2 + y_1)^2 = (-(y_2 - y_1))^2 = (y_2 - y_1)^2$, то мы получаем: $|M'N'|^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$
Сравнивая полученные выражения для квадратов расстояний, мы видим, что они равны: $|MN|^2 = |M'N'|^2$
Поскольку расстояние — это неотрицательная величина, из равенства квадратов расстояний следует и равенство самих расстояний: $|MN| = |M'N'|$
Мы показали, что для любых двух точек плоскости расстояние между ними равно расстоянию между их образами при осевой симметрии. Это означает, что осевая симметрия сохраняет расстояния, а следовательно, является движением. Что и требовалось доказать.
Ответ: Осевая симметрия является движением, так как при этом преобразовании сохраняется расстояние между любыми двумя точками плоскости.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 5 расположенного на странице 328 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №5 (с. 328), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.