Номер 12, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 12, страница 329.
№12 (с. 329)
Условие. №12 (с. 329)
скриншот условия

12 Докажите, что любое движение является наложением.
Решение 2. №12 (с. 329)

Решение 4. №12 (с. 329)

Решение 11. №12 (с. 329)
Для доказательства того, что любое движение является наложением, необходимо сначала определить оба понятия, а затем показать, что определение движения влечет за собой свойства наложения.
Определение 1: Движение
Движением называется преобразование плоскости (или пространства), при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Это означает, что если произвольные точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$:
$$|AB| = |A'B'|$$
Определение 2: Наложение
Наложением называется преобразование, которое переводит любую геометрическую фигуру в равную ей фигуру. Две фигуры считаются равными (конгруэнтными), если их можно совместить друг с другом.
Доказательство
Пусть нам дано произвольное движение $f$. Нам нужно доказать, что это движение является наложением. Согласно определению наложения, мы должны показать, что движение $f$ переводит любую фигуру $F$ в равную ей фигуру $F' = f(F)$.
Для доказательства равенства фигур $F$ и $F'$ достаточно показать, что движение сохраняет не только расстояния, но и углы, так как форма и размер фигуры определяются именно этими параметрами. Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$, который является частью фигуры $F$ или определяет расположение ее ключевых точек.
Пусть при движении $f$ вершины треугольника $A$, $B$, $C$ переходят в точки $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Эти три точки образуют новый треугольник $\triangle A'B'C'$.
По определению движения, расстояния между вершинами сохраняются:
- Сторона $AB$ переходит в сторону $A'B'$, и их длины равны: $|AB| = |A'B'|$.
- Сторона $BC$ переходит в сторону $B'C'$, и их длины равны: $|BC| = |B'C'|$.
- Сторона $AC$ переходит в сторону $A'C'$, и их длины равны: $|AC| = |A'C'|$.
Таким образом, мы имеем два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых три соответствующие стороны равны. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны:
$$\triangle ABC = \triangle A'B'C'$$
Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, например, $\angle ABC = \angle A'B'C'$. Это означает, что движение сохраняет углы.
Поскольку любая сложная фигура (например, многоугольник) может быть разбита на треугольники (триангулирована), и движение переводит каждый из этих треугольников в равный ему треугольник, то вся фигура в целом перейдет в равную ей фигуру. Сохранение всех расстояний и углов гарантирует, что форма и размеры фигуры не изменятся.
Следовательно, любое движение $f$ переводит любую фигуру $F$ в равную ей фигуру $F'$. Это в точности соответствует определению наложения.
Таким образом, любое движение является наложением, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что любое движение является наложением. Ключевым моментом доказательства является то, что движение, сохраняя по определению расстояния между точками, переводит любой треугольник в равный ему треугольник по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Так как любая фигура состоит из точек и ее свойства определяются взаимным расположением этих точек, сохранение расстояний и, как следствие, углов, гарантирует, что любая фигура отобразится в равную ей, что и является определением наложения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 12 расположенного на странице 329 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №12 (с. 329), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.