Номер 14, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 14, страница 329.

14 Объясните, какая точка называется неподвижной точкой преобразования.

Неподвижной точкой преобразования (или отображения) в геометрии и математике называется точка, которая при этом преобразовании переходит сама в себя. Другими словами, если мы применяем некоторое преобразование ко всем точкам плоскости или пространства, неподвижная точка — это та, которая в результате не меняет своего положения.

Формально, пусть дано некоторое геометрическое преобразование $f$, которое каждой точке $M$ сопоставляет точку $M' = f(M)$. Точка $P$ называется неподвижной для преобразования $f$, если её образ совпадает с ней самой, то есть выполняется равенство:
$f(P) = P$

Рассмотрим несколько классических примеров геометрических преобразований и их неподвижные точки:

Осевая симметрия (отражение относительно прямой): Неподвижными точками являются все точки, лежащие на оси симметрии. Любая точка, не лежащая на оси, отображается в другую точку, симметричную ей относительно этой оси.

Центральная симметрия (отражение относительно точки): Единственной неподвижной точкой является центр симметрии $O$. Любая другая точка $A$ переходит в точку $A'$, так что $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Поворот: При повороте плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$, который не является кратным $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), единственной неподвижной точкой является центр поворота $O$. Если угол поворота кратен $360^\circ$, то преобразование является тождественным, и каждая точка плоскости неподвижна.

Параллельный перенос: Если перенос задан ненулевым вектором $\vec{v}$, то у такого преобразования нет неподвижных точек, так как каждая точка смещается. Если же перенос осуществляется на нулевой вектор (тождественное преобразование), то все точки плоскости являются неподвижными.

Гомотетия: При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k \ne 1$, единственной неподвижной точкой является центр гомотетии $O$. Если коэффициент $k=1$, то гомотетия является тождественным преобразованием, и все точки неподвижны.

Ответ: Неподвижной точкой преобразования $f$ называется точка $P$, которая при данном преобразовании отображается сама в себя, то есть удовлетворяет условию $f(P) = P$.