Номер 15, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 15, страница 329.

15 Существуют ли неподвижные точки при осевой симметрии? центральной симметрии?

Осевая симметрия

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) — это такое преобразование плоскости, при котором любая точка $M$ переходит в симметричную ей точку $M'$ относительно заданной прямой $l$ (оси симметрии). Это означает, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$.

Неподвижной называется точка, которая при преобразовании отображается сама на себя. Найдем такие точки для осевой симметрии.

Пусть точка $A$ лежит на оси симметрии $l$. По определению, ее образ $A'$ должен быть таким, чтобы отрезок $AA'$ был перпендикулярен оси $l$ и делился ею пополам. Поскольку точка $A$ уже принадлежит оси $l$, то расстояние от нее до оси равно нулю. Это условие выполняется только тогда, когда точка $A'$ совпадает с точкой $A$. Следовательно, любая точка, лежащая на оси симметрии, является неподвижной.

Если же точка $B$ не лежит на оси симметрии, то ее образ $B'$ будет находиться по другую сторону от оси, и значит, $B \ne B'$. Таким образом, точки вне оси симметрии не являются неподвижными.

Ответ: да, существуют. Неподвижными точками при осевой симметрии являются все точки, принадлежащие оси симметрии.

Центральная симметрия

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) — это такое преобразование плоскости, при котором любая точка $M$ переходит в симметричную ей точку $M'$ относительно заданной точки $O$ (центра симметрии). Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Выясним, существуют ли неподвижные точки при этом преобразовании.

Пусть точка $M$ совпадает с центром симметрии $O$. Ее образ $M'$ должен быть таким, чтобы $O$ была серединой отрезка $OM'$. Это возможно, только если точка $M'$ совпадает с точкой $O$. Таким образом, центр симметрии $O$ является неподвижной точкой.

Пусть теперь точка $N$ не совпадает с центром симметрии $O$. Тогда ее образ $N'$ лежит на прямой $NO$ на таком же расстоянии от $O$, но с противоположной стороны. В этом случае $N' \ne N$, значит, точка $N$ не является неподвижной.

Следовательно, при центральной симметрии существует только одна неподвижная точка.

Ответ: да, существует. При центральной симметрии имеется ровно одна неподвижная точка — это сам центр симметрии.