Номер 11, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 11, страница 329.

11 Докажите, что наложение является движением плоскости.

Для того чтобы доказать, что наложение является движением плоскости, необходимо сопоставить определения этих двух понятий.

Движение плоскости — это преобразование (отображение) плоскости на себя, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками. Иными словами, если при некотором преобразовании $f$ произвольные точки $A$ и $B$ плоскости переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно (то есть $f(A) = A'$ и $f(B) = B'$), то это преобразование является движением, если для любых $A$ и $B$ выполняется равенство: $|AB| = |A'B'|$, где $|AB|$ — расстояние между точками $A$ и $B$.

Наложение в геометрии — это основной, интуитивно понятный способ сравнения фигур. Говорят, что фигура $F_1$ накладывается на фигуру $F_2$, если их можно совместить так, что они полностью совпадут. Когда мы рассматриваем наложение как преобразование всей плоскости на саму себя, мы подразумеваем такое преобразование, при котором любая фигура совмещается со своим образом.

Рассмотрим произвольное наложение как преобразование плоскости. Возьмем две любые точки на плоскости, $A$ и $B$. При этом наложении они перейдут в некоторые точки $A'$ и $B'$. Отрезок $AB$ является геометрической фигурой. При наложении он перейдет в отрезок $A'B'$. По самому определению наложения, эти фигуры (отрезок $AB$ и его образ $A'B'$) должны быть равны, так как они совмещаются. Равенство отрезков означает равенство их длин.

Длина отрезка $AB$ — это расстояние между точками $A$ и $B$. Длина отрезка $A'B'$ — это расстояние между точками $A'$ и $B'$. Таким образом, из того, что наложение сохраняет равенство фигур, следует, что оно сохраняет и длины отрезков, а значит, и расстояния между точками: $|AB| = |A'B'|$.

Так как это равенство выполняется для любых двух точек плоскости $A$ и $B$, то по определению, наложение является движением плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Наложение является преобразованием, сохраняющим расстояния между точками, что полностью соответствует определению движения.