Номер 17, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 17, страница 329.

17 Докажите, что параллельный перенос является движением.

Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками. Чтобы доказать, что параллельный перенос является движением, необходимо показать, что для любых двух точек плоскости расстояние между ними равно расстоянию между их образами в результате этого переноса.

Воспользуемся координатным методом. Пусть на плоскости заданы две произвольные точки: точка A с координатами $(x_A, y_A)$ и точка B с координатами $(x_B, y_B)$.

Квадрат расстояния между точками A и B равен:

$|AB|^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Рассмотрим параллельный перенос, который задается вектором $\vec{p}$ с координатами $(a, b)$. При таком переносе любая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x+a, y+b)$.

Следовательно, точка A перейдет в точку A' с координатами $(x_A + a, y_A + b)$.

А точка B перейдет в точку B' с координатами $(x_B + a, y_B + b)$.

Теперь найдем квадрат расстояния между новыми точками A' и B':

$|A'B'|^2 = ((x_B + a) - (x_A + a))^2 + ((y_B + b) - (y_A + b))^2$

Упростим выражения в скобках:

$|A'B'|^2 = (x_B + a - x_A - a)^2 + (y_B + b - y_A - b)^2$

$|A'B'|^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Сравнивая полученные выражения, видим, что $|AB|^2 = |A'B'|^2$. Так как расстояния являются неотрицательными величинами, то и сами расстояния равны:

$|AB| = |A'B'|$

Поскольку мы доказали, что расстояние между двумя произвольно выбранными точками сохраняется при параллельном переносе, это означает, что параллельный перенос по определению является движением.

Ответ: Так как при параллельном переносе расстояние между любыми двумя точками сохраняется, он является движением. Что и требовалось доказать.