Номер 19, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 19, страница 329.

19 Докажите, что поворот является движением.

Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками. Чтобы доказать, что поворот является движением, нужно показать, что при повороте расстояние между любыми двумя точками не изменяется.

Пусть на плоскости задан поворот с центром в точке O и углом поворота $\alpha$. Возьмем две произвольные точки M и N. В результате этого поворота точка M перейдет в точку M', а точка N — в точку N'. Наша задача — доказать, что расстояние между исходными точками $MN$ равно расстоянию между их образами $M'N'$, то есть $MN = M'N'$.

Рассмотрим два основных случая.

1. Одна из точек (или обе) совпадает с центром поворота O.
Если точка M совпадает с центром O, то при повороте она остается на месте ($M' = M = O$). Точка N переходит в N'. Расстояние между исходными точками равно $MN = ON$. Расстояние между их образами равно $M'N' = ON'$. По определению поворота, расстояние от центра до точки сохраняется, то есть $ON = ON'$. Следовательно, $MN = M'N'$.

2. Ни одна из точек не совпадает с центром поворота.
Рассмотрим треугольники $\triangle MON$ и $\triangle M'ON'$.
Согласно определению поворота:
- Расстояние от центра поворота O до точки M равно расстоянию от центра до ее образа M'. Таким образом, $OM = OM'$.
- Аналогично, расстояние от центра O до точки N равно расстоянию от центра до ее образа N'. Таким образом, $ON = ON'$.

Теперь сравним углы $\angle MON$ и $\angle M'ON'$. Поворот на угол $\alpha$ можно рассматривать как поворот всей фигуры $\angle MON$. Так как поворот является преобразованием, сохраняющим углы, то мера угла между лучами OM и ON будет равна мере угла между их образами, лучами OM' и ON'.
Следовательно, $\angle MON = \angle M'ON'$.

Таким образом, мы сравниваем треугольники $\triangle MON$ и $\triangle M'ON'$ и видим, что у них две стороны и угол между ними соответственно равны: $OM = OM'$, $ON = ON'$ и $\angle MON = \angle M'ON'$.
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle MON \cong \triangle M'ON'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $MN$ треугольника $\triangle MON$ равна стороне $M'N'$ треугольника $\triangle M'ON'$. То есть, $MN = M'N'$.

Это рассуждение остается верным и для случая, когда точки O, M, N лежат на одной прямой (вырожденный треугольник). В этом случае их образы O, M', N' также будут лежать на одной прямой, и поскольку $OM=OM'$ и $ON=ON'$, то и расстояние $MN = |OM \pm ON|$ сохранится.

Поскольку мы показали, что для любых двух точек M и N расстояние между ними сохраняется при повороте, это доказывает, что поворот является движением.

Ответ: Для доказательства того, что поворот является движением, необходимо показать, что он сохраняет расстояние между любыми двумя точками M и N. Пусть M' и N' — их образы при повороте с центром O. Рассматривая треугольники $\triangle MON$ и $\triangle M'ON'$, мы устанавливаем, что $OM = OM'$ и $ON = ON'$ (по определению поворота), а также $\angle MON = \angle M'ON'$ (так как поворот сохраняет углы). По первому признаку равенства треугольников, $\triangle MON \cong \triangle M'ON'$. Из этого следует равенство их сторон: $MN = M'N'$. Так как расстояние между любыми двумя точками сохраняется, поворот является движением.