Номер 1287, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1287, страница 329.

1287 Даны два произвольных луча h и h₁. Можно ли утверждать, что существует движение, при котором луч h отображается на луч h₁?

Да, можно утверждать, что для любых двух лучей $h$ и $h_1$ существует движение, которое отображает луч $h$ на луч $h_1$.

Докажем это утверждение, предоставив конструктивный способ построения такого движения. Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Все лучи являются конгруэнтными (равными) фигурами, так как по определению они неразличимы по форме и размеру (имеют бесконечную длину). Для любых двух конгруэнтных фигур существует движение, переводящее одну фигуру в другую.

Пусть луч $h$ имеет начало в точке $O$, а луч $h_1$ — в точке $O_1$. Искомое движение можно построить как композицию (последовательное выполнение) двух основных движений: параллельного переноса и поворота.

1. Параллельный перенос

Сначала выполним параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{OO_1}$. Это движение является изометрией. В результате этого переноса точка $O$ (начало луча $h$) отобразится в точку $O_1$ (начало луча $h_1$), а весь луч $h$ перейдет в некоторый новый луч $h'$, начало которого будет находиться в точке $O_1$.

2. Поворот

После выполнения первого шага мы имеем два луча, $h'$ и $h_1$, с общим началом в точке $O_1$. Теперь выполним поворот вокруг центра $O_1$ на угол $\alpha$, равный углу между лучами $h'$ и $h_1$. Поворот также является движением. В результате этого поворота луч $h'$ полностью совместится с лучом $h_1$. Если после параллельного переноса лучи $h'$ и $h_1$ уже сонаправлены, то угол поворота равен $0^\circ$. Если они направлены в противоположные стороны, угол поворота составляет $180^\circ$.

Поскольку композиция двух движений (в нашем случае, параллельного переноса и поворота) сама является движением, мы построили искомую изометрию, которая отображает луч $h$ на луч $h_1$. Следовательно, для любой пары лучей такое движение всегда существует.

Ответ: Да, можно утверждать, что существует движение, при котором луч $h$ отображается на луч $h_1$.