Номер 1294, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1294, страница 330.

1294 Используя параллельный перенос, постройте трапецию по её основаниям и диагоналям.

Для построения трапеции по её основаниям и диагоналям с использованием параллельного переноса, необходимо выполнить анализ, построение и доказательство.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомая трапеция, где $AB$ и $DC$ — основания ($AB \parallel DC$), и их длины равны $a$ и $b$ соответственно ($AB = a$, $DC = b$). Пусть длины диагоналей равны $AC = d_1$ и $BD = d_2$.

Выполним параллельный перенос диагонали $BD$ на вектор $\vec{DC}$. При таком переносе точка $D$ переходит в точку $C$, а точка $B$ переходит в некоторую точку $B_1$. Таким образом, мы получаем отрезок $CB_1$, который является образом диагонали $BD$.

По свойству параллельного переноса, отрезок $CB_1$ параллелен диагонали $BD$ и равен ей по длине, то есть $CB_1 = BD = d_2$ и $CB_1 \parallel BD$.

Рассмотрим четырехугольник $DCB_1B$. Так как мы осуществили перенос на вектор $\vec{DC}$, то $\vec{BB_1} = \vec{DC}$. Это означает, что четырехугольник $DCB_1B$ является параллелограммом. Следовательно, $BB_1 = DC = b$ и $BB_1 \parallel DC$.

Поскольку по определению трапеции $DC \parallel AB$, то и $BB_1 \parallel AB$. Это значит, что точка $B_1$ лежит на одной прямой с отрезком $AB$. Тогда длина отрезка $AB_1$ будет равна сумме длин отрезков $AB$ и $BB_1$, то есть $AB_1 = AB + BB_1 = a + b$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACB_1$. Длины всех его сторон нам известны:

• Сторона $AC$ имеет длину $d_1$ (по условию).
• Сторона $CB_1$ имеет длину $d_2$ (так как является образом диагонали $BD$).
• Сторона $AB_1$ имеет длину $a+b$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $ACB_1$ по трем известным сторонам, из которого затем можно восстановить искомую трапецию.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AB_1$, длина которого равна $a+b$.
2. Строим треугольник $ACB_1$ по трем сторонам $AB_1 = a+b$, $AC = d_1$ и $CB_1 = d_2$. Для этого:
   • Из центра в точке $A$ проводим дугу окружности радиусом $d_1$.
   • Из центра в точке $B_1$ проводим дугу окружности радиусом $d_2$.
   • Точка $C$, являющаяся пересечением этих дуг, будет третьей вершиной треугольника.
3. На отрезке $AB_1$ отмечаем точку $B$ таким образом, чтобы длина отрезка $AB$ была равна $a$.
4. Для нахождения четвертой вершины трапеции, точки $D$, проведем через точку $C$ прямую, параллельную прямой $AB_1$.
5. На этой прямой отложим от точки $C$ отрезок $CD$ длиной $b$ в таком направлении, чтобы вектор $\vec{DC}$ был сонаправлен вектору $\vec{AB}$.
6. Соединяем последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ и есть искомая трапеция.

Доказательство

Проверим, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. По построению (шаги 4 и 5) прямая $CD$ параллельна прямой $AB$. Следовательно, $ABCD$ является трапецией.
2. По построению (шаг 3) длина основания $AB$ равна $a$.
3. По построению (шаг 5) длина основания $DC$ равна $b$.
4. По построению (шаг 2) длина диагонали $AC$ равна $d_1$.
5. Остается доказать, что длина диагонали $BD$ равна $d_2$. Рассмотрим четырехугольник $DCB_1B$. Длина отрезка $BB_1 = AB_1 - AB = (a+b) - a = b$. По построению $DC = b$. Значит, $BB_1 = DC$. Также по построению $DC \parallel BB_1$ (так как обе стороны лежат на параллельных прямых). Четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, $DCB_1B$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $BD = CB_1$. А отрезок $CB_1$ мы построили (шаг 2) с длиной $d_2$. Таким образом, $BD = d_2$.

Все условия выполнены, следовательно, построенная трапеция является искомой.

Исследование

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда возможно построение треугольника $ACB_1$ на шаге 2. Треугольник со сторонами $a+b$, $d_1$ и $d_2$ существует, если для его сторон выполняется неравенство треугольника:

• $d_1 + d_2 > a + b$
• $d_1 + (a+b) > d_2$
• $d_2 + (a+b) > d_1$

Последние два неравенства можно объединить в одно: $a+b > |d_1 - d_2|$.

Следовательно, для существования решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось двойное неравенство: $d_1 + d_2 > a + b > |d_1 - d_2|$.

Если это условие выполнено, то дуги окружностей на шаге 2 пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой $AB_1$. Это приведет к построению двух конгруэнтных трапеций, которые можно считать одним решением задачи.

Ответ: Алгоритм построения трапеции описан выше в разделе "Построение". Построение возможно при условии, что сумма длин диагоналей больше суммы длин оснований, а сумма длин оснований больше модуля разности длин диагоналей ($d_1 + d_2 > a + b > |d_1 - d_2|$).