Номер 1300, страница 338 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Подобие многоугольников. 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1300, страница 338.

1300 Пятиугольники, изображённые на рисунке 388, подобны. По данным этого рисунка найдите x, y, z, t, α, β.

По условию задачи, пятиугольники подобны. Это означает, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Для решения задачи сначала установим соответствие между углами и сторонами пятиугольников. Поскольку фигуры могут быть зеркально отражены, сравним последовательности углов при обходе одного многоугольника по часовой стрелке, а другого — против часовой стрелки.

Последовательность углов большого пятиугольника (по часовой стрелке): угол с двойной дугой, $?$, угол с одинарной дугой, $90°$, $145°$.

Последовательность углов малого пятиугольника (против часовой стрелки): угол с двойной дугой, $70°$, $?$, $90°$, угол с одинарной дугой.

Сопоставляя эти последовательности, находим соответствующие углы:

• Угол $?$ соответствует углу $70°$.
• Угол с одинарной дугой большого пятиугольника соответствует углу $?$.
• Угол $90°$ соответствует углу $90°$.
• Угол $145°$ соответствует углу с одинарной дугой малого пятиугольника.

?

Из установленного соответствия следует, что угол $?$ равен углу с одинарной дугой большого пятиугольника, а угол $145°$ равен углу с одинарной дугой малого пятиугольника. Так как соответствующие углы равны, то $? = 145°$.

Ответ: $? = 145°$.

?

Угол $?$ большого пятиугольника соответствует углу $70°$ малого пятиугольника, следовательно, они равны.

Ответ: $? = 70°$.

Теперь найдем коэффициент подобия $k$ и неизвестные стороны. Коэффициент подобия — это отношение длин соответствующих сторон (сторона большего многоугольника к стороне меньшего).

Сторона большого пятиугольника длиной $5$ находится между углами (одинарная дуга) и $90°$.

Соответствующая ей сторона малого пятиугольника находится между соответствующими углами $?$ (который равен $145°$, как и одинарная дуга) и $90°$. Это сторона длиной $3$.

Таким образом, коэффициент подобия $k = \frac{5}{3}$.

x

Сторона $x$ малого пятиугольника находится между углами $70°$ и углом с двойной дугой. Соответствующая ей сторона большого пятиугольника находится между углами $? = 70°$ и углом с двойной дугой. Это сторона длиной $9$.

Из пропорции $\frac{9}{x} = k$ получаем $\frac{9}{x} = \frac{5}{3}$.

Отсюда $5x = 9 \cdot 3 \implies 5x = 27 \implies x = \frac{27}{5} = 5.4$.

Ответ: $x = 5.4$.

y

Сторона $y$ большого пятиугольника находится между углом $145°$ и углом с двойной дугой. Соответствующая ей сторона малого пятиугольника находится между углом с одинарной дугой (который соответствует углу $145°$) и углом с двойной дугой. Это сторона длиной $4$.

Из пропорции $\frac{y}{4} = k$ получаем $\frac{y}{4} = \frac{5}{3}$.

Отсюда $3y = 4 \cdot 5 \implies 3y = 20 \implies y = \frac{20}{3}$.

Ответ: $y = \frac{20}{3}$.

z

Сторона $z$ большого пятиугольника находится между углами $90°$ и $145°$. Соответствующая ей сторона малого пятиугольника находится между углами $90°$ и углом с одинарной дугой (который соответствует углу $145°$). Это сторона длиной $5$.

Из пропорции $\frac{z}{5} = k$ получаем $\frac{z}{5} = \frac{5}{3}$.

Отсюда $3z = 5 \cdot 5 \implies 3z = 25 \implies z = \frac{25}{3}$.

Ответ: $z = \frac{25}{3}$.

t

Сторона $t$ малого пятиугольника находится между углами $? = 145°$ и $70°$. Соответствующая ей сторона большого пятиугольника находится между углом с одинарной дугой (который соответствует $?$) и углом $? = 70°$. Это сторона длиной $7$.

Из пропорции $\frac{7}{t} = k$ получаем $\frac{7}{t} = \frac{5}{3}$.

Отсюда $5t = 7 \cdot 3 \implies 5t = 21 \implies t = \frac{21}{5} = 4.2$.

Ответ: $t = 4.2$.