Номер 1303, страница 339 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Подобие многоугольников. 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1303, страница 339.

1303 Могут ли быть подобными многоугольники F и F₁, если: а) F — остроугольный, а F₁ — тупоугольный треугольники; б) F — равносторонний треугольник, а F₁ — равнобедренный, но не равносторонний треугольник; в) F — прямоугольник, а F₁ — квадрат; г) F и F₁ — прямоугольники; д) F и F₁ — пятиугольники; е) F — шестиугольник, а F₁ — пятиугольник. Ответ обоснуйте.

а) F — остроугольный, а F? — тупоугольный треугольники;

По определению, два треугольника подобны, если их соответствующие углы равны. У остроугольного треугольника $F$ все три угла являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$. У тупоугольного треугольника $F_1$ один из углов является тупым, то есть его градусная мера больше $90^\circ$. Для того чтобы треугольники были подобны, необходимо, чтобы набор углов одного треугольника был равен набору углов другого. Однако у треугольника $F_1$ есть тупой угол, в то время как у треугольника $F$ все углы острые. Так как тупой угол не может быть равен острому углу, то эти треугольники не могут иметь одинаковые наборы углов. Следовательно, они не могут быть подобными. Ответ: Нет, не могут.

б) F — равносторонний треугольник, а F? — равнобедренный, но не равносторонний треугольник;

Все углы равностороннего треугольника $F$ равны $60^\circ$. Для того чтобы какой-либо другой треугольник был подобен ему, все его углы также должны быть равны $60^\circ$. Треугольник, все углы которого равны $60^\circ$, является равносторонним. В условии сказано, что треугольник $F_1$ является равнобедренным, но не равносторонним. Это означает, что не все его углы равны $60^\circ$. Поскольку наборы углов треугольников $F$ и $F_1$ не совпадают, они не могут быть подобны. Ответ: Нет, не могут.

в) F — прямоугольник, а F? — квадрат;

Два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. У любого прямоугольника $F$ и у квадрата $F_1$ все углы прямые, то есть равны по $90^\circ$. Таким образом, условие равенства углов выполняется. Рассмотрим условие пропорциональности сторон. Пусть у прямоугольника $F$ смежные стороны равны $a$ и $b$, а у квадрата $F_1$ сторона равна $s$. Чтобы многоугольники были подобны, отношение их соответствующих сторон должно быть постоянным. То есть должно выполняться равенство $\frac{a}{s} = \frac{b}{s}$. Это равенство возможно только в случае, если $a = b$. Если $a = b$, то прямоугольник $F$ является квадратом. Любые два квадрата подобны. Поскольку квадрат — это частный случай прямоугольника, то прямоугольник $F$ и квадрат $F_1$ могут быть подобны, если прямоугольник $F$ также является квадратом. Ответ: Да, могут.

г) F и F? — прямоугольники;

Да, два прямоугольника могут быть подобны. У любых двух прямоугольников все углы равны $90^\circ$, поэтому условие равенства углов для подобия всегда выполняется. Подобие будет иметь место, если отношения длин их смежных сторон одинаковы. Пусть у прямоугольника $F$ стороны равны $a$ и $b$, а у прямоугольника $F_1$ стороны равны $a_1$ и $b_1$. Прямоугольники будут подобны, если $\frac{a}{b} = \frac{a_1}{b_1}$. Например, прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см подобен прямоугольнику со сторонами 3 см и 6 см, так как отношение длин их сторон одинаково: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Ответ: Да, могут.

д) F и F? — пятиугольники;

Да, два пятиугольника могут быть подобны. Подобие означает, что многоугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разный размер. Можно всегда построить пятиугольник $F_1$, подобный данному пятиугольнику $F$. Для этого достаточно умножить все стороны пятиугольника $F$ на одно и то же число (коэффициент подобия $k$), сохранив при этом все углы. Например, любые два правильных пятиугольника подобны друг другу, так как у них все углы равны (по $108^\circ$) и отношение сторон постоянно. Ответ: Да, могут.

е) F — шестиугольник, а F? — пятиугольник.

Одним из основных условий подобия двух многоугольников является то, что они должны иметь одинаковое число сторон. Это необходимо для установления взаимно-однозначного соответствия между их вершинами, сторонами и углами. Шестиугольник $F$ имеет 6 сторон, а пятиугольник $F_1$ имеет 5 сторон. Поскольку число сторон у этих многоугольников разное, они не могут быть подобны. Ответ: Нет, не могут.