Номер 1309, страница 344 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1309, страница 344.

1309 Отметьте пять точек и обозначьте их буквами О, А, В, С, D. а) Постройте точки А₁, В₁, С₁, D₁ так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом 2 точки А, В, С и D перешли соответственно в точки А₁, В₁, С₁ и D₁; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k = –3.

Сначала произвольным образом отметим на плоскости пять точек и обозначим их буквами O, A, B, C, D. Точка O будет служить центром гомотетии, а точки A, B, C, D — прообразами.

а)

Требуется построить точки A?, B?, C?, D?, которые являются образами точек A, B, C, D при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом $k=2$.

Гомотетия — это преобразование, при котором каждая точка P переходит в точку P? так, что выполняется векторное равенство $\vec{OP_1} = k \cdot \vec{OP}$.

В данном случае $k=2$, поэтому для каждой точки должны выполняться следующие условия:
$\vec{OA_1} = 2 \cdot \vec{OA}$
$\vec{OB_1} = 2 \cdot \vec{OB}$
$\vec{OC_1} = 2 \cdot \vec{OC}$
$\vec{OD_1} = 2 \cdot \vec{OD}$

Так как коэффициент $k=2$ положителен, каждая точка-образ (например, A?) будет лежать на луче, исходящем из центра O и проходящем через точку-прообраз (A). Расстояние от центра до образа будет в 2 раза больше расстояния от центра до прообраза ($OA_1 = 2 \cdot OA$).

Порядок построения точки A?:
1. Проводим луч OA.
2. Измеряем длину отрезка OA.
3. На луче OA откладываем от точки O отрезок OA?, длина которого в два раза больше длины отрезка OA.

Аналогично строятся точки B?, C? и D? на лучах OB, OC и OD соответственно.

Ответ: Для построения точек A?, B?, C?, D? для каждой из исходных точек A, B, C, D проводится луч с началом в O. На этом луче откладывается точка-образ на расстоянии от O, вдвое большем, чем расстояние до исходной точки. Точки A?, B?, C?, D? лежат на лучах OA, OB, OC, OD, и выполняются равенства: $OA_1 = 2 \cdot OA$, $OB_1 = 2 \cdot OB$, $OC_1 = 2 \cdot OC$, $OD_1 = 2 \cdot OD$.

б)

Требуется выполнить то же задание, но для гомотетии с центром в точке O и коэффициентом $k=-3$.

Векторные равенства для этого случая:
$\vec{OA_1} = -3 \cdot \vec{OA}$
$\vec{OB_1} = -3 \cdot \vec{OB}$
$\vec{OC_1} = -3 \cdot \vec{OC}$
$\vec{OD_1} = -3 \cdot \vec{OD}$

Так как коэффициент $k=-3$ отрицателен, каждая точка-образ (например, A?) будет лежать на прямой, проходящей через центр O и точку-прообраз (A), но с противоположной стороны от центра O. Расстояние от центра до образа будет в $|-3| = 3$ раза больше расстояния от центра до прообраза ($OA_1 = 3 \cdot OA$).

Порядок построения точки A?:
1. Проводим прямую, проходящую через точки O и A.
2. Измеряем длину отрезка OA.
3. На прямой OA откладываем от точки O в направлении, противоположном лучу OA, отрезок OA?, длина которого в три раза больше длины отрезка OA.

Аналогично строятся точки B?, C? и D?, но на прямых OB, OC и OD соответственно, в направлениях, противоположных лучам OB, OC и OD.

Ответ: Для построения точек A?, B?, C?, D? для каждой из исходных точек A, B, C, D проводится прямая через центр O. На этой прямой в направлении, противоположном исходной точке относительно центра O, откладывается точка-образ на расстоянии от O, втрое большем, чем расстояние до исходной точки. Точки A?, B?, C?, D? лежат на лучах, дополнительных к лучам OA, OB, OC, OD, и выполняются равенства: $OA_1 = 3 \cdot OA$, $OB_1 = 3 \cdot OB$, $OC_1 = 3 \cdot OC$, $OD_1 = 3 \cdot OD$.