Номер 1316, страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1316, страница 345.

1316 Докажите, что каждая фигура подобна себе самой.

Согласно определению, две фигуры называются подобными, если существует преобразование подобия, которое отображает одну фигуру на другую. Преобразование подобия с коэффициентом $k$ — это такое преобразование, при котором для любых двух точек $M$ и $N$ расстояние между их образами $M'$ и $N'$ равно $M'N' = k \cdot MN$, где $k$ — постоянное положительное число, называемое коэффициентом подобия.

Для того чтобы доказать, что любая фигура $F$ подобна самой себе, нам нужно найти такое преобразование подобия, которое отображает фигуру $F$ на саму себя.

Рассмотрим тождественное преобразование. Это преобразование, при котором каждая точка плоскости (и, следовательно, каждая точка фигуры $F$) отображается на саму себя. Таким образом, образом фигуры $F$ при тождественном преобразовании является сама фигура $F$.

Теперь проверим, является ли тождественное преобразование преобразованием подобия. Пусть $M$ и $N$ — две произвольные точки фигуры $F$. При тождественном преобразовании их образы — это те же самые точки, то есть $M' = M$ и $N' = N$.

Расстояние между образами $M'N'$ равно расстоянию $MN$. Сравним это с формулой преобразования подобия: $M'N' = k \cdot MN$. Подставив наше значение, получим: $MN = k \cdot MN$

Если фигура $F$ не является одной точкой, мы можем выбрать две различные точки $M$ и $N$, и тогда расстояние $MN > 0$. В этом случае из равенства следует, что коэффициент $k = 1$. Так как $k=1$ является положительным числом, тождественное преобразование является преобразованием подобия.

Таким образом, для любой фигуры $F$ существует преобразование подобия (тождественное преобразование с коэффициентом $k=1$), которое отображает эту фигуру на саму себя. Это по определению означает, что любая фигура подобна самой себе.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая фигура подобна самой себе, так как тождественное преобразование, отображающее фигуру на себя, является преобразованием подобия с коэффициентом $k=1$.