Номер 1314, страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1314, страница 345.

1314 Перечертите фигуры, изображённые на рисунках 402, а–г, в тетрадь и постройте фигуры, в которые они переходят при гомотетии с центром в точке А и k=2.

Для решения задачи необходимо применить преобразование гомотетии с центром в точке A и коэффициентом $k=2$ к каждой из заданных фигур. Гомотетия с центром A и коэффициентом $k$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка M переходит в такую точку M', что выполняется векторное равенство $\vec{AM'} = k \cdot \vec{AM}$.

Поскольку $k=2 > 0$, для любой точки M её образ M' будет лежать на луче AM, а расстояние от центра гомотетии до образа точки будет в 2 раза больше, чем до исходной точки: $AM' = 2 \cdot AM$.

а)

Фигура является трапецией, а центр гомотетии A находится внутри неё. Чтобы построить образ трапеции, необходимо построить образы её четырёх вершин.

1. Обозначим вершины трапеции буквами P?, P?, P?, P?.

2. Для каждой вершины P? проводим луч, исходящий из точки A и проходящий через точку P?.

3. На каждом луче AP? от точки A откладываем отрезок AP'?, длина которого вдвое больше длины отрезка AP?. То есть, $AP'_1 = 2 \cdot AP_1$, $AP'_2 = 2 \cdot AP_2$ и так далее.

4. Полученные точки P'?, P'?, P'?, P'? соединяем отрезками в том же порядке, что и вершины исходной трапеции.

Получившаяся фигура будет трапецией, подобной исходной. Её стороны будут параллельны соответствующим сторонам исходной трапеции и в два раза длиннее.

Ответ: Искомая фигура — трапеция, подобная исходной с коэффициентом 2. Все её линейные размеры в 2 раза больше, чем у исходной трапеции, и она будет расположена так, что центр A останется в том же относительном положении внутри неё.

б)

Фигура является окружностью. При гомотетии окружность переходит в окружность.

1. Находим центр исходной окружности, обозначим его точкой O, и измеряем её радиус r. На рисунке радиус равен 1,5 клеткам.

2. Строим образ центра O. Для этого проводим луч AO и на нём находим точку O' так, что расстояние $AO' = 2 \cdot AO$. Точка O' будет центром новой окружности.

3. Вычисляем радиус новой окружности r'. Он будет равен произведению модуля коэффициента гомотетии на радиус исходной окружности: $r' = |k| \cdot r = 2r$. В данном случае $r' = 2 \cdot 1.5 = 3$ клетки.

4. Строим новую окружность с центром в точке O' и радиусом r' = 3 клетки.

Ответ: Искомая фигура — окружность, радиус которой в 2 раза больше радиуса исходной (равен 3 клеткам). Центр новой окружности смещён относительно центра исходной по правилу гомотетии с центром A.

в)

Фигура представляет собой восьмиугольник с элементами "лица" внутри. Необходимо применить гомотетию ко всем точкам фигуры.

1. Восьмиугольник: Строим образ восьмиугольника, находя образы всех его восьми вершин по правилу гомотетии, как в пункте а). Для каждой вершины P? находим её образ P'? на луче AP? так, что $AP'? = 2 \cdot AP_i$. Затем соединяем полученные вершины P'?, P'?, ..., P'?.

2. Глаза: Глаза — это две точки. Находим их образы E'? и E'? аналогично, откладывая на лучах AE? и AE? удвоенные расстояния.

3. Рот: Рот — это дуга окружности. Её образ также будет дугой окружности. Для её построения можно найти образы её конечных точек и, например, средней точки. Либо можно найти образ центра окружности, частью которой является дуга, и удвоить её радиус. Затем провести новую дугу между образами конечных точек.

В результате все элементы фигуры увеличатся в 2 раза и сместятся от центра A.

Ответ: Искомая фигура — восьмиугольник с "лицом", подобный исходной фигуре с коэффициентом 2. Все его линейные размеры в 2 раза больше, а форма сохранена.

г)

Фигура является параллелограммом, причём центр гомотетии A совпадает с одной из его вершин.

1. Точка, совпадающая с центром гомотетии, при преобразовании остаётся на месте. Таким образом, образ вершины A — это сама точка A (A' = A).

2. Обозначим другие вершины параллелограмма B, C и D. Находим их образы B', C', D'.

3. Находим образ B'. Для этого строим луч AB и откладываем на нём точку B' так, что $AB' = 2 \cdot AB$.

4. Аналогично находим образ D'. Строим луч AD и откладываем на нём точку D' так, что $AD' = 2 \cdot AD$.

5. Образ последней вершины C' можно найти, отложив на луче AC отрезок $AC' = 2 \cdot AC$. Либо можно достроить параллелограмм по трём известным вершинам A, B', D'.

6. Соединяем точки A, B', C', D' и получаем искомый параллелограмм.

Ответ: Искомая фигура — параллелограмм, подобный исходному. Он имеет общую вершину A с исходным параллелограммом, а его стороны, выходящие из этой вершины, в два раза длиннее и лежат на тех же прямых, что и соответствующие стороны исходного параллелограмма.