Номер 1318, страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1318, страница 345.

1318 Докажите, что если фигура F₂ подобна F₁, а фигура F₁ подобна фигуре F, то фигура F₂ подобна фигуре F.

Доказательство этого утверждения основывается на определении подобных фигур и свойствах преобразования подобия.

По определению, фигура $F_A$ подобна фигуре $F_B$, если существует преобразование подобия с некоторым коэффициентом $k > 0$, которое переводит фигуру $F_B$ в фигуру $F_A$. Преобразование подобия — это такое преобразование, при котором расстояние между любыми двумя точками изменяется в $k$ раз.

1. Из условия, что фигура $F_2$ подобна фигуре $F_1$, следует, что существует преобразование подобия $S_1$ с коэффициентом $k_1 > 0$, которое переводит фигуру $F_1$ в фигуру $F_2$. Это значит, что для любых двух точек $A_1, B_1$ фигуры $F_1$ их образы $A_2=S_1(A_1)$ и $B_2=S_1(B_1)$ принадлежат фигуре $F_2$, и расстояние между ними равно $|A_2B_2| = k_1 \cdot |A_1B_1|$.

2. Аналогично, из условия, что фигура $F_1$ подобна фигуре $F$, следует, что существует преобразование подобия $S_2$ с коэффициентом $k_2 > 0$, которое переводит фигуру $F$ в фигуру $F_1$. Это значит, что для любых двух точек $A, B$ фигуры $F$ их образы $A_1=S_2(A)$ и $B_1=S_2(B)$ принадлежат фигуре $F_1$, и расстояние между ними равно $|A_1B_1| = k_2 \cdot |AB|$.

Нам необходимо доказать, что фигура $F_2$ подобна фигуре $F$. Для этого нужно показать, что существует преобразование подобия, переводящее фигуру $F$ в фигуру $F_2$.

Рассмотрим композицию (последовательное выполнение) двух преобразований: $S = S_1 \circ S_2$. Это преобразование сначала применяет $S_2$ к фигуре $F$, переводя ее в $F_1$, а затем применяет $S_1$ к полученной фигуре $F_1$, переводя ее в $F_2$. Таким образом, преобразование $S$ переводит фигуру $F$ в фигуру $F_2$.

Теперь докажем, что $S$ является преобразованием подобия. Возьмем две произвольные точки $A$ и $B$ в фигуре $F$.
Преобразование $S_2$ переводит их в точки $A_1=S_2(A)$ и $B_1=S_2(B)$ в фигуре $F_1$. Расстояние между ними равно:
$|A_1B_1| = k_2 \cdot |AB|$.
Далее, преобразование $S_1$ переводит точки $A_1$ и $B_1$ в точки $A_2=S_1(A_1)$ и $B_2=S_1(B_1)$ в фигуре $F_2$. Расстояние между ними равно:
$|A_2B_2| = k_1 \cdot |A_1B_1|$.

Подставим выражение для $|A_1B_1|$ из первого шага во второй:
$|A_2B_2| = k_1 \cdot (k_2 \cdot |AB|) = (k_1 k_2) \cdot |AB|$.

Пусть $k = k_1 k_2$. Поскольку $k_1 > 0$ и $k_2 > 0$, их произведение $k$ также будет положительным числом.
Мы получили, что преобразование $S$ переводит любые две точки $A, B$ из фигуры $F$ в точки $A_2, B_2$ из фигуры $F_2$ так, что расстояние между ними изменяется в $k$ раз, где $k$ — постоянный положительный коэффициент.
Следовательно, композиция преобразований $S = S_1 \circ S_2$ является преобразованием подобия с коэффициентом $k = k_1 k_2$, которое переводит фигуру $F$ в фигуру $F_2$.
По определению, это означает, что фигура $F_2$ подобна фигуре $F$.

Ответ: Что и требовалось доказать.