Номер 1315, страница 345 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Преобразование подобия. 135. Подобие произвольных фигур. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1315, страница 345.

1315 Докажите, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.

Пусть задан угол $\angle BAC$ с вершиной в точке $A$ и сторонами-лучами $AB$ и $AC$. Пусть $H$ — гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k \neq 0$. При этой гомотетии точки $A, B, C$ переходят в точки $A', B', C'$ соответственно. Образом угла $\angle BAC$ является угол $\angle B'A'C'$.

Величина угла между двумя лучами определяется как угол между их направляющими векторами. Угол $\alpha = \angle BAC$ — это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$. Косинус этого угла выражается через скалярное произведение векторов: $$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} $$

Аналогично, угол $\alpha' = \angle B'A'C'$ — это угол между векторами $\vec{A'B'}$ и $\vec{A'C'}$. Его косинус равен: $$ \cos(\alpha') = \frac{\vec{A'B'} \cdot \vec{A'C'}}{|\vec{A'B'}| \cdot |\vec{A'C'}|} $$

По определению гомотетии, $\vec{OA'} = k \cdot \vec{OA}$, $\vec{OB'} = k \cdot \vec{OB}$, $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. Выразим векторы сторон нового угла через векторы сторон исходного:
$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'} = k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA} = k(\vec{OB} - \vec{OA}) = k \cdot \vec{AB}$
$\vec{A'C'} = \vec{OC'} - \vec{OA'} = k \cdot \vec{OC} - k \cdot \vec{OA} = k(\vec{OC} - \vec{OA}) = k \cdot \vec{AC}$

Теперь подставим эти выражения в формулу для косинуса угла $\alpha'$: $$ \cos(\alpha') = \frac{(k \cdot \vec{AB}) \cdot (k \cdot \vec{AC})}{|k \cdot \vec{AB}| \cdot |k \cdot \vec{AC}|} $$

Используя свойства скалярного произведения $(\lambda \vec{u}) \cdot (\mu \vec{v}) = \lambda\mu (\vec{u} \cdot \vec{v})$ и модуля вектора $|\lambda \vec{u}| = |\lambda| |\vec{u}|$, получаем: $$ \cos(\alpha') = \frac{k^2 (\vec{AB} \cdot \vec{AC})}{|k| \cdot |\vec{AB}| \cdot |k| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{k^2 (\vec{AB} \cdot \vec{AC})}{|k|^2 \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} $$

Поскольку $k \neq 0$, то $|k|^2 = k^2$. Сократив дробь на $k^2$, получим: $$ \cos(\alpha') = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} $$

Сравнивая полученное выражение с выражением для $\cos(\alpha)$, видим, что $\cos(\alpha') = \cos(\alpha)$.

Так как величина геометрического угла находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$ (или от $0$ до $\pi$ радиан), а на этом интервале функция косинуса является инъективной (каждому значению косинуса соответствует единственное значение угла), из равенства косинусов следует равенство самих углов: $$ \alpha' = \alpha $$ то есть, $\angle B'A'C' = \angle BAC$.

Таким образом, доказано, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.

Ответ: Доказано, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.