Номер 1308, страница 339 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Подобие многоугольников. 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1308, страница 339.

1308 Площади подобных многоугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго многоугольника имеет длину 9 м. Найдите длину сходственной стороны первого многоугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных многоугольников, которое гласит, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин сходственных сторон.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади первого и второго многоугольников соответственно, а $a_1$ и $a_2$ — длины их сходственных сторон.

По условию задачи нам дано: $S_1 = 75 \, \text{м}^2$
$S_2 = 300 \, \text{м}^2$
$a_2 = 9 \, \text{м}$

Формула, связывающая площади и стороны подобных многоугольников, выглядит так: $$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 $$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти $a_1$: $$ \frac{75}{300} = \left(\frac{a_1}{9}\right)^2 $$

Сначала упростим левую часть уравнения, найдя отношение площадей: $$ \frac{75}{300} = \frac{1}{4} $$

Теперь наше уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{4} = \left(\frac{a_1}{9}\right)^2 $$

Чтобы найти отношение сторон $\frac{a_1}{9}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку длина стороны является положительной величиной, мы рассматриваем только положительный корень: $$ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{a_1}{9} $$ $$ \frac{1}{2} = \frac{a_1}{9} $$

Наконец, выразим $a_1$ из полученного уравнения: $$ a_1 = 9 \cdot \frac{1}{2} $$ $$ a_1 = 4,5 $$

Следовательно, длина сходственной стороны первого многоугольника равна 4,5 м.

Ответ: 4,5 м.