Страница 339 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1302 Подобны ли многоугольники, изображённые на рисунке 390? Ответ обоснуйте.

Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить выполнение этих двух условий для четырехугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.

1. Сравнение углов
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна $360°$.
В четырехугольнике $ABCD$ известны три угла: $?A = 80°$, $?B = 85°$, $?C = 90°$. Найдем четвертый угол $?D$:
$?D = 360° - (?A + ?B + ?C) = 360° - (80° + 85° + 90°) = 360° - 255° = 105°$.
В четырехугольнике $A_1B_1C_1D_1$ известны три угла: $?A_1 = 80°$, $?B_1 = 85°$, $?C_1 = 90°$. Найдем четвертый угол $?D_1$:
$?D_1 = 360° - (?A_1 + ?B_1 + ?C_1) = 360° - (80° + 85° + 90°) = 360° - 255° = 105°$.
Сравнивая углы, получаем, что соответствующие углы двух многоугольников равны: $?A = ?A_1 = 80°$, $?B = ?B_1 = 85°$, $?C = ?C_1 = 90°$, $?D = ?D_1 = 105°$.
Таким образом, первое условие подобия выполнено.

2. Сравнение сторон
Теперь проверим пропорциональность соответствующих сторон. Соответствующими являются стороны, которые соединяют вершины с соответственно равными углами.
Для четырехугольника $ABCD$ длины сторон: $AB = 2a$, $BC = 2b$, $CD = 2c$, $DA = 2d$.
Для четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ длины соответствующих сторон: $A_1B_1 = 3a$, $B_1C_1 = 3b$, $C_1D_1 = 3c$, $D_1A_1 = 3d$.
Найдем отношения длин соответствующих сторон:
$\frac{A_1B_1}{AB} = \frac{3a}{2a} = \frac{3}{2}$
$\frac{B_1C_1}{BC} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$
$\frac{C_1D_1}{CD} = \frac{3c}{2c} = \frac{3}{2}$
$\frac{D_1A_1}{DA} = \frac{3d}{2d} = \frac{3}{2}$
Все отношения длин соответствующих сторон равны $\frac{3}{2}$. Следовательно, стороны пропорциональны с коэффициентом подобия $k = \frac{3}{2}$. Второе условие подобия также выполнено.

Поскольку оба условия подобия (равенство соответствующих углов и пропорциональность соответствующих сторон) выполняются, данные многоугольники подобны.
Ответ: Да, многоугольники, изображённые на рисунке, подобны. Обоснование: их соответствующие углы равны ($80°$, $85°$, $90°$, $105°$) и их соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом подобия $k = \frac{3}{2}$.

1303 Могут ли быть подобными многоугольники F и F₁, если: а) F — остроугольный, а F₁ — тупоугольный треугольники; б) F — равносторонний треугольник, а F₁ — равнобедренный, но не равносторонний треугольник; в) F — прямоугольник, а F₁ — квадрат; г) F и F₁ — прямоугольники; д) F и F₁ — пятиугольники; е) F — шестиугольник, а F₁ — пятиугольник. Ответ обоснуйте.

а) F — остроугольный, а F? — тупоугольный треугольники;

По определению, два треугольника подобны, если их соответствующие углы равны. У остроугольного треугольника $F$ все три угла являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$. У тупоугольного треугольника $F_1$ один из углов является тупым, то есть его градусная мера больше $90^\circ$. Для того чтобы треугольники были подобны, необходимо, чтобы набор углов одного треугольника был равен набору углов другого. Однако у треугольника $F_1$ есть тупой угол, в то время как у треугольника $F$ все углы острые. Так как тупой угол не может быть равен острому углу, то эти треугольники не могут иметь одинаковые наборы углов. Следовательно, они не могут быть подобными. Ответ: Нет, не могут.

б) F — равносторонний треугольник, а F? — равнобедренный, но не равносторонний треугольник;

Все углы равностороннего треугольника $F$ равны $60^\circ$. Для того чтобы какой-либо другой треугольник был подобен ему, все его углы также должны быть равны $60^\circ$. Треугольник, все углы которого равны $60^\circ$, является равносторонним. В условии сказано, что треугольник $F_1$ является равнобедренным, но не равносторонним. Это означает, что не все его углы равны $60^\circ$. Поскольку наборы углов треугольников $F$ и $F_1$ не совпадают, они не могут быть подобны. Ответ: Нет, не могут.

в) F — прямоугольник, а F? — квадрат;

Два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. У любого прямоугольника $F$ и у квадрата $F_1$ все углы прямые, то есть равны по $90^\circ$. Таким образом, условие равенства углов выполняется. Рассмотрим условие пропорциональности сторон. Пусть у прямоугольника $F$ смежные стороны равны $a$ и $b$, а у квадрата $F_1$ сторона равна $s$. Чтобы многоугольники были подобны, отношение их соответствующих сторон должно быть постоянным. То есть должно выполняться равенство $\frac{a}{s} = \frac{b}{s}$. Это равенство возможно только в случае, если $a = b$. Если $a = b$, то прямоугольник $F$ является квадратом. Любые два квадрата подобны. Поскольку квадрат — это частный случай прямоугольника, то прямоугольник $F$ и квадрат $F_1$ могут быть подобны, если прямоугольник $F$ также является квадратом. Ответ: Да, могут.

г) F и F? — прямоугольники;

Да, два прямоугольника могут быть подобны. У любых двух прямоугольников все углы равны $90^\circ$, поэтому условие равенства углов для подобия всегда выполняется. Подобие будет иметь место, если отношения длин их смежных сторон одинаковы. Пусть у прямоугольника $F$ стороны равны $a$ и $b$, а у прямоугольника $F_1$ стороны равны $a_1$ и $b_1$. Прямоугольники будут подобны, если $\frac{a}{b} = \frac{a_1}{b_1}$. Например, прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см подобен прямоугольнику со сторонами 3 см и 6 см, так как отношение длин их сторон одинаково: $\frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Ответ: Да, могут.

д) F и F? — пятиугольники;

Да, два пятиугольника могут быть подобны. Подобие означает, что многоугольники имеют одинаковую форму, но могут иметь разный размер. Можно всегда построить пятиугольник $F_1$, подобный данному пятиугольнику $F$. Для этого достаточно умножить все стороны пятиугольника $F$ на одно и то же число (коэффициент подобия $k$), сохранив при этом все углы. Например, любые два правильных пятиугольника подобны друг другу, так как у них все углы равны (по $108^\circ$) и отношение сторон постоянно. Ответ: Да, могут.

е) F — шестиугольник, а F? — пятиугольник.

Одним из основных условий подобия двух многоугольников является то, что они должны иметь одинаковое число сторон. Это необходимо для установления взаимно-однозначного соответствия между их вершинами, сторонами и углами. Шестиугольник $F$ имеет 6 сторон, а пятиугольник $F_1$ имеет 5 сторон. Поскольку число сторон у этих многоугольников разное, они не могут быть подобны. Ответ: Нет, не могут.

1304 Треугольники АВС и А₁В₁С₁ подобны. Длины сторон ВС и В₁С₁ соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отношение периметров треугольников АВС и А₁В₁С₁.

Согласно свойству подобных треугольников, отношение их периметров равно коэффициенту подобия. Коэффициент подобия $k$ определяется как отношение длин соответствующих сторон.

В задаче дано, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$). Известны длины их соответствующих сторон: $BC = 1,4$ м и $B_1C_1 = 56$ см.

Для вычисления отношения необходимо привести длины сторон к одной единице измерения. Переведем метры в сантиметры, учитывая, что в 1 метре 100 сантиметров:
$BC = 1,4 \text{ м} = 1,4 \times 100 \text{ см} = 140 \text{ см}$.

Теперь найдем коэффициент подобия $k$, который и будет равен искомому отношению периметров:
$k = \frac{P_{ABC}}{P_{A_1B_1C_1}} = \frac{BC}{B_1C_1}$

Подставим числовые значения длин сторон в сантиметрах:
$k = \frac{140 \text{ см}}{56 \text{ см}} = \frac{140}{56}$

Для упрощения дроби сократим ее. Можно заметить, что оба числа делятся на 28:
$140 \div 28 = 5$
$56 \div 28 = 2$
Таким образом, $k = \frac{5}{2} = 2,5$.

Следовательно, отношение периметра треугольника $ABC$ к периметру треугольника $A_1B_1C_1$ равно 2,5.
Ответ: 2,5.

1305 Периметр четырёхугольника MNPQ относится к периметру подобного ему четырёхугольника M₁N₁P₁Q₁ как 3 : 5. Длина стороны MN = 7 см, а длина P₁Q₁ на 5 см больше длины стороны M₁N₁. Найдите длину стороны PQ.

Пусть $P_{MNPQ}$ - периметр четырёхугольника $MNPQ$, а $P_{M_1N_1P_1Q_1}$ - периметр подобного ему четырёхугольника $M_1N_1P_1Q_1$.
По условию, отношение периметров равно $3:5$. Отношение периметров подобных фигур равно коэффициенту подобия $k$.
$k = \frac{P_{MNPQ}}{P_{M_1N_1P_1Q_1}} = \frac{3}{5}$
Отношение соответствующих сторон подобных многоугольников также равно коэффициенту подобия. Следовательно, для соответствующих сторон $MN$ и $M_1N_1$, а также $PQ$ и $P_1Q_1$ выполняются следующие соотношения:
$\frac{MN}{M_1N_1} = k = \frac{3}{5}$
$\frac{PQ}{P_1Q_1} = k = \frac{3}{5}$
Из условия известно, что длина стороны $MN = 7$ см. Используя первое соотношение, найдём длину стороны $M_1N_1$:
$\frac{7}{M_1N_1} = \frac{3}{5}$
Отсюда $M_1N_1 = \frac{7 \cdot 5}{3} = \frac{35}{3}$ см.
Также по условию дано, что длина стороны $P_1Q_1$ на 5 см больше длины стороны $M_1N_1$:
$P_1Q_1 = M_1N_1 + 5$
Подставим найденное значение $M_1N_1$:
$P_1Q_1 = \frac{35}{3} + 5 = \frac{35}{3} + \frac{15}{3} = \frac{50}{3}$ см.
Теперь, используя второе соотношение, найдём искомую длину стороны $PQ$:
$\frac{PQ}{P_1Q_1} = \frac{3}{5}$
$PQ = \frac{3}{5} \cdot P_1Q_1 = \frac{3}{5} \cdot \frac{50}{3}$
$PQ = \frac{3 \cdot 50}{5 \cdot 3} = \frac{150}{15} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

1306 Многоугольники F₁ и F₂ подобны. Пусть S₁ и S₂ — их площади, а k — коэффициент подобия многоугольника F₁ относительно F₂. Используя теорему о площадях подобных многоугольников, заполните таблицу.

Для решения задачи используется теорема о площадях подобных многоугольников: отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента их подобия. Эта зависимость выражается формулой:

Здесь $S_1$ и $S_2$ — площади подобных многоугольников $F_1$ и $F_2$, а $k$ — коэффициент подобия многоугольника $F_1$ относительно $F_2$. Заполним таблицу, решая каждую задачу по столбцам.

Первый столбец
Даны площади: $S_1 = 27 \text{ см}^2$ и $S_2 = 3 \text{ см}^2$.
Необходимо найти коэффициент подобия $k$.
Из формулы $\frac{S_1}{S_2} = k^2$ находим $k^2$:
$k^2 = \frac{27 \text{ см}^2}{3 \text{ см}^2} = 9$.
Коэффициент подобия $k$ является положительной величиной, поэтому $k = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: $k = 3$.

Второй столбец
Даны площадь $S_1 = 640 \text{ см}^2$ и коэффициент подобия $k=2$.
Необходимо найти площадь $S_2$.
Из основной формулы выразим $S_2$: $S_2 = \frac{S_1}{k^2}$.
Подставим известные значения: $S_2 = \frac{640 \text{ см}^2}{2^2} = \frac{640 \text{ см}^2}{4} = 160 \text{ см}^2$.
Ответ: $S_2 = 160 \text{ см}^2$.

Третий столбец
Даны площадь $S_2 = 54 \text{ дм}^2$ и коэффициент подобия $k=\frac{2}{3}$.
Необходимо найти площадь $S_1$.
Из основной формулы выразим $S_1$: $S_1 = S_2 \cdot k^2$.
Подставим известные значения: $S_1 = 54 \text{ дм}^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 54 \text{ дм}^2 \cdot \frac{4}{9} = 6 \cdot 4 \text{ дм}^2 = 24 \text{ дм}^2$.
Ответ: $S_1 = 24 \text{ дм}^2$.

Четвертый столбец
Даны площади: $S_1 = 24 \text{ см}^2$ и $S_2 = 6 \text{ мм}^2$.
Необходимо найти коэффициент подобия $k$.
Для вычислений приведем площади к одной единице измерения. Переведем $S_1$ в квадратные миллиметры. Так как $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$, то $1 \text{ см}^2 = (10 \text{ мм})^2 = 100 \text{ мм}^2$.
$S_1 = 24 \text{ см}^2 = 24 \cdot 100 \text{ мм}^2 = 2400 \text{ мм}^2$.
Теперь найдем $k$:
$k^2 = \frac{S_1}{S_2} = \frac{2400 \text{ мм}^2}{6 \text{ мм}^2} = 400$.
$k = \sqrt{400} = 20$.
Ответ: $k = 20$.

Пятый столбец
Даны площадь $S_2 = 4a^2 \text{ см}^2$ и коэффициент подобия $k = \sqrt{a}$.
Необходимо найти площадь $S_1$. Будем считать, что $a > 0$, чтобы корень и площадь имели смысл.
Найдем $S_1$ по формуле $S_1 = S_2 \cdot k^2$.
$S_1 = (4a^2 \text{ см}^2) \cdot (\sqrt{a})^2 = 4a^2 \cdot a \text{ см}^2 = 4a^3 \text{ см}^2$.
Ответ: $S_1 = 4a^3 \text{ см}^2$.

1307 Длина стороны квадрата F равна а. Построен многоугольник F₁, подобный многоугольнику F. а) Докажите, что многоугольник F — квадрат. б) Найдите площадь многоугольника F₁, если коэффициент подобия многоугольников F и F₁ равен k.

а)

По определению, два многоугольника подобны, если их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности сторон называется коэффициентом подобия.

Пусть многоугольник $F$ — это квадрат со стороной $a$. По свойствам квадрата все его четыре угла прямые, то есть равны $90^\circ$, и все четыре стороны равны $a$.

Многоугольник $F_1$ подобен многоугольнику $F$. Из этого следует:

1. Каждый угол многоугольника $F_1$ равен соответствующему углу многоугольника $F$. Так как все углы квадрата $F$ равны $90^\circ$, то и все углы многоугольника $F_1$ также равны $90^\circ$.
2. Стороны многоугольника $F_1$ пропорциональны соответственным сторонам многоугольника $F$ с коэффициентом подобия $k$. Так как все стороны квадрата $F$ равны $a$, то все стороны многоугольника $F_1$ будут равны $k \cdot a$.

Таким образом, многоугольник $F_1$ имеет четыре прямых угла и четыре равные между собой стороны. По определению, такой многоугольник является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что многоугольник $F_1$ является квадратом.

б)

Существует теорема об отношении площадей подобных многоугольников: отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Математически это записывается так: $\frac{S_{F_1}}{S_F} = k^2$, где $S_{F_1}$ и $S_F$ — площади многоугольников $F_1$ и $F$ соответственно, а $k$ — коэффициент подобия.

Площадь исходного квадрата $F$ со стороной $a$ равна $S_F = a^2$.

Теперь мы можем выразить площадь многоугольника $F_1$:

$S_{F_1} = S_F \cdot k^2 = a^2 \cdot k^2 = (ka)^2$.

Также можно было прийти к этому результату, зная из пункта а), что $F_1$ — это квадрат со стороной $k \cdot a$. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, следовательно, $S_{F_1} = (k \cdot a)^2 = k^2a^2$.

Ответ: $k^2a^2$.

1308 Площади подобных многоугольников равны 75 м² и 300 м². Одна из сторон второго многоугольника имеет длину 9 м. Найдите длину сходственной стороны первого многоугольника.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством подобных многоугольников, которое гласит, что отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин сходственных сторон.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади первого и второго многоугольников соответственно, а $a_1$ и $a_2$ — длины их сходственных сторон.

По условию задачи нам дано: $S_1 = 75 \, \text{м}^2$
$S_2 = 300 \, \text{м}^2$
$a_2 = 9 \, \text{м}$

Формула, связывающая площади и стороны подобных многоугольников, выглядит так: $$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2 $$

Подставим известные значения в эту формулу, чтобы найти $a_1$: $$ \frac{75}{300} = \left(\frac{a_1}{9}\right)^2 $$

Сначала упростим левую часть уравнения, найдя отношение площадей: $$ \frac{75}{300} = \frac{1}{4} $$

Теперь наше уравнение принимает вид: $$ \frac{1}{4} = \left(\frac{a_1}{9}\right)^2 $$

Чтобы найти отношение сторон $\frac{a_1}{9}$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Поскольку длина стороны является положительной величиной, мы рассматриваем только положительный корень: $$ \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{a_1}{9} $$ $$ \frac{1}{2} = \frac{a_1}{9} $$

Наконец, выразим $a_1$ из полученного уравнения: $$ a_1 = 9 \cdot \frac{1}{2} $$ $$ a_1 = 4,5 $$

Следовательно, длина сходственной стороны первого многоугольника равна 4,5 м.

Ответ: 4,5 м.