Страница 338 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1297 Докажите, что если для прямоугольников АВСD и А₁В₁С₁D₁ выполняются равенства АВ = А₁В₁ и ВС = В₁С₁, то прямоугольники равны.

Для доказательства равенства прямоугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ необходимо показать, что их можно совместить наложением. Для многоугольников это равносильно тому, что все их соответствующие стороны и углы равны.

Сравнение сторон
По определению, в прямоугольнике противоположные стороны равны.
Для прямоугольника $ABCD$ имеем: $AB = CD$ и $BC = AD$.
Для прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ имеем: $A_1B_1 = C_1D_1$ и $B_1C_1 = A_1D_1$.
По условию задачи нам дано, что $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$.
Следовательно, мы можем записать цепочки равенств для других пар сторон:
$CD = AB$ и $C_1D_1 = A_1B_1$. Так как $AB = A_1B_1$, то $CD = C_1D_1$.
$AD = BC$ и $A_1D_1 = B_1C_1$. Так как $BC = B_1C_1$, то $AD = A_1D_1$.
Таким образом, все соответствующие стороны двух прямоугольников равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CD = C_1D_1$ и $AD = A_1D_1$.

Сравнение углов
По определению, все углы прямоугольника прямые, то есть равны $90^\circ$.
Для прямоугольника $ABCD$: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
Для прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$: $\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = \angle D_1 = 90^\circ$.
Следовательно, все соответствующие углы двух прямоугольников также равны.

Поскольку у прямоугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ все соответствующие стороны и все соответствующие углы равны, то эти прямоугольники равны по определению равенства многоугольников, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

1298 Верны ли утверждения: а) если стороны двух треугольников соответственно равны, то треугольники равны; б) если у двух выпуклых многоугольников стороны соответственно равны, то многоугольники равны? Ответ обоснуйте.

а) Да, утверждение верно. Это утверждение является одним из основных признаков равенства треугольников, известным как третий признак равенства треугольников (по трём сторонам). Он гласит, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если их стороны соответственно равны, то есть $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$, то по третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Равенство треугольников подразумевает, что у них равны не только соответствующие стороны, но и соответствующие углы. Длины трёх сторон однозначно определяют углы треугольника (например, по теореме косинусов), поэтому фигуры оказываются полностью одинаковыми.
Ответ: да, утверждение верно.

б) Нет, утверждение неверно. Для выпуклых многоугольников, у которых число сторон больше трёх, равенство соответствующих сторон не гарантирует равенства самих многоугольников. В отличие от треугольника, многоугольник с четырьмя и более сторонами не является «жёсткой» фигурой — его углы можно изменять, не меняя длин сторон.
Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример. Рассмотрим две четырёхугольные фигуры: квадрат и ромб, не являющийся квадратом.
1. Пусть есть квадрат со стороной $a$. Длины всех его сторон равны $a$, а все углы прямые, то есть равны $90^\circ$.
2. Пусть есть ромб со стороной $a$. Длины всех его сторон также равны $a$. Однако его углы не равны $90^\circ$, например, два противоположных угла равны $60^\circ$, а два других — $120^\circ$.
У этих двух многоугольников (квадрата и ромба) соответствующие стороны равны, но сами фигуры не равны, так как их углы различны. Следовательно, их нельзя совместить наложением.
Ответ: нет, утверждение неверно.

1299 Четырёхугольники АВСD и А₁В₁С₁D₁, изображённые на рисунке 387, подобны. По данным рисунка найдите:

а) коэффициент подобия;

б) ∠А₁, ∠С₁;

в) А₁В₁, СD.

По условию задачи, четырехугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ подобны. Это означает, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствие вершин: $A \leftrightarrow A_1$, $B \leftrightarrow B_1$, $C \leftrightarrow C_1$, $D \leftrightarrow D_1$.

а) Коэффициент подобия $k$ — это отношение длин соответственных сторон. Из данных рисунка известны длины соответственных сторон $AD$ и $A_1D_1$: $AD = 6$, $A_1D_1 = 12$.
Найдем коэффициент подобия $k$ как отношение стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ к соответствующей стороне четырехугольника $ABCD$:
$k = \frac{A_1D_1}{AD} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: 2.

б) В подобных многоугольниках соответственные углы равны.
Угол $\angle A_1$ соответствует углу $\angle A$. Из рисунка видно, что $\angle A = 90^{\circ}$. Следовательно, $\angle A_1 = \angle A = 90^{\circ}$.
Угол $\angle C_1$ соответствует углу $\angle C$. Из рисунка известно, что $\angle C = 100^{\circ}$. Следовательно, $\angle C_1 = \angle C = 100^{\circ}$.
Ответ: $\angle A_1 = 90^{\circ}$, $\angle C_1 = 100^{\circ}$.

в) Для нахождения длин неизвестных сторон используем коэффициент подобия $k=2$.
Сторона $A_1B_1$ соответствует стороне $AB$. Мы знаем, что $AB = 4$. Тогда:
$\frac{A_1B_1}{AB} = k \implies A_1B_1 = k \cdot AB = 2 \cdot 4 = 8$.
Сторона $CD$ соответствует стороне $C_1D_1$. Мы знаем, что $C_1D_1 = 10$. Тогда:
$\frac{C_1D_1}{CD} = k \implies CD = \frac{C_1D_1}{k} = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: $A_1B_1 = 8$, $CD = 5$.

1300 Пятиугольники, изображённые на рисунке 388, подобны. По данным этого рисунка найдите x, y, z, t, α, β.

По условию задачи, пятиугольники подобны. Это означает, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Для решения задачи сначала установим соответствие между углами и сторонами пятиугольников. Поскольку фигуры могут быть зеркально отражены, сравним последовательности углов при обходе одного многоугольника по часовой стрелке, а другого — против часовой стрелки.

Последовательность углов большого пятиугольника (по часовой стрелке): угол с двойной дугой, $?$, угол с одинарной дугой, $90°$, $145°$.

Последовательность углов малого пятиугольника (против часовой стрелки): угол с двойной дугой, $70°$, $?$, $90°$, угол с одинарной дугой.

Сопоставляя эти последовательности, находим соответствующие углы:

• Угол $?$ соответствует углу $70°$.
• Угол с одинарной дугой большого пятиугольника соответствует углу $?$.
• Угол $90°$ соответствует углу $90°$.
• Угол $145°$ соответствует углу с одинарной дугой малого пятиугольника.

?

Из установленного соответствия следует, что угол $?$ равен углу с одинарной дугой большого пятиугольника, а угол $145°$ равен углу с одинарной дугой малого пятиугольника. Так как соответствующие углы равны, то $? = 145°$.

Ответ: $? = 145°$.

?

Угол $?$ большого пятиугольника соответствует углу $70°$ малого пятиугольника, следовательно, они равны.

Ответ: $? = 70°$.

Теперь найдем коэффициент подобия $k$ и неизвестные стороны. Коэффициент подобия — это отношение длин соответствующих сторон (сторона большего многоугольника к стороне меньшего).

Сторона большого пятиугольника длиной $5$ находится между углами (одинарная дуга) и $90°$.

Соответствующая ей сторона малого пятиугольника находится между соответствующими углами $?$ (который равен $145°$, как и одинарная дуга) и $90°$. Это сторона длиной $3$.

Таким образом, коэффициент подобия $k = \frac{5}{3}$.

x

Сторона $x$ малого пятиугольника находится между углами $70°$ и углом с двойной дугой. Соответствующая ей сторона большого пятиугольника находится между углами $? = 70°$ и углом с двойной дугой. Это сторона длиной $9$.

Из пропорции $\frac{9}{x} = k$ получаем $\frac{9}{x} = \frac{5}{3}$.

Отсюда $5x = 9 \cdot 3 \implies 5x = 27 \implies x = \frac{27}{5} = 5.4$.

Ответ: $x = 5.4$.

y

Сторона $y$ большого пятиугольника находится между углом $145°$ и углом с двойной дугой. Соответствующая ей сторона малого пятиугольника находится между углом с одинарной дугой (который соответствует углу $145°$) и углом с двойной дугой. Это сторона длиной $4$.

Из пропорции $\frac{y}{4} = k$ получаем $\frac{y}{4} = \frac{5}{3}$.

Отсюда $3y = 4 \cdot 5 \implies 3y = 20 \implies y = \frac{20}{3}$.

Ответ: $y = \frac{20}{3}$.

z

Сторона $z$ большого пятиугольника находится между углами $90°$ и $145°$. Соответствующая ей сторона малого пятиугольника находится между углами $90°$ и углом с одинарной дугой (который соответствует углу $145°$). Это сторона длиной $5$.

Из пропорции $\frac{z}{5} = k$ получаем $\frac{z}{5} = \frac{5}{3}$.

Отсюда $3z = 5 \cdot 5 \implies 3z = 25 \implies z = \frac{25}{3}$.

Ответ: $z = \frac{25}{3}$.

t

Сторона $t$ малого пятиугольника находится между углами $? = 145°$ и $70°$. Соответствующая ей сторона большого пятиугольника находится между углом с одинарной дугой (который соответствует $?$) и углом $? = 70°$. Это сторона длиной $7$.

Из пропорции $\frac{7}{t} = k$ получаем $\frac{7}{t} = \frac{5}{3}$.

Отсюда $5t = 7 \cdot 3 \implies 5t = 21 \implies t = \frac{21}{5} = 4.2$.

Ответ: $t = 4.2$.

1301 По данным рисунка 389, а–в выясните, подобны ли многоугольники F и F₁, P и P₁, R и R₁.

а)

Два многоугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Рассмотрим многоугольники F и F?, которые являются прямоугольниками.

У прямоугольников все углы прямые, то есть по 90°. Следовательно, соответствующие углы многоугольников F и F? равны.

Теперь проверим пропорциональность сторон. Для того чтобы два прямоугольника были подобны, отношение их смежных сторон должно быть одинаковым. Найдем отношение большей стороны к меньшей для каждого прямоугольника:

Для прямоугольника F со сторонами 2 и 5 отношение равно: $\frac{5}{2} = 2.5$.

Для прямоугольника F? со сторонами 1 и 5 отношение равно: $\frac{5}{1} = 5$.

Поскольку $2.5 \neq 5$, отношение сторон у прямоугольников разное. Другой способ проверки - составить отношение соответствующих сторон. Пусть меньшая сторона F (длиной 2) соответствует меньшей стороне F? (длиной 1), а большая сторона F (длиной 5) — большей стороне F? (длиной 5). Тогда отношения длин соответствующих сторон равны:

$\frac{1}{2}$ и $\frac{5}{5} = 1$.

Так как $\frac{1}{2} \neq 1$, стороны не пропорциональны. Следовательно, многоугольники F и F? не подобны.

Ответ: многоугольники F и F? не подобны.

б)

Рассмотрим многоугольники P и P?, которые являются треугольниками. Для подобия треугольников достаточно выполнения одного из признаков подобия. В данном случае удобно использовать признак подобия по двум углам: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Треугольник P — прямоугольный, один из его острых углов равен 30°. Найдем третий угол: $180° - 90° - 30° = 60°$. Итак, углы треугольника P равны 30°, 60°, 90°.

Треугольник P? — также прямоугольный, и один из его острых углов равен 30°. Третий угол также равен $180° - 90° - 30° = 60°$. Углы треугольника P? равны 30°, 60°, 90°.

Поскольку все углы треугольника P соответственно равны углам треугольника P?, эти треугольники подобны по трём углам (или по двум, что является достаточным условием).

Ответ: многоугольники P и P? подобны.

в)

Рассмотрим многоугольники R и R?, которые являются четырехугольниками. Для их подобия необходимо, чтобы соответствующие стороны были пропорциональны с одним и тем же коэффициентом подобия $k$.

Известные длины сторон многоугольника R: 4, 3, 5.

Известные длины сторон многоугольника R?: 3, 5, 5.

Предположим, что многоугольники подобны. Попытаемся найти коэффициент подобия. Если предположить, что стороны на рисунках соответствуют друг другу по расположению (например, при обходе по часовой стрелке), то получим следующие пары соответствующих сторон: (4 и 3), (3 и 5). Найдем их отношения:

$\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{3}$.

Так как $\frac{3}{4} \neq \frac{5}{3}$ (поскольку $3 \cdot 3 \neq 4 \cdot 5$, или $9 \neq 20$), стороны не пропорциональны.

Можно рассмотреть другой вариант соответствия. Например, сопоставим сторону длиной 3 в R со стороной длиной 3 в R?. Тогда коэффициент подобия $k = \frac{3}{3} = 1$. Это бы означало, что многоугольники равны (конгруэнтны). Но в этом случае и остальные стороны должны быть равны. Однако у многоугольника R есть сторона длиной 4, а у R? такой стороны нет (зато есть две стороны длиной 5). Следовательно, многоугольники не могут быть равны.

Поскольку невозможно подобрать такой коэффициент подобия, чтобы все соответствующие стороны были пропорциональны, многоугольники не подобны.

Ответ: многоугольники R и R? не подобны.