Номер 1299, страница 338 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Подобие многоугольников. 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1299, страница 338.

1299 Четырёхугольники АВСD и А₁В₁С₁D₁, изображённые на рисунке 387, подобны. По данным рисунка найдите:

а) коэффициент подобия;

б) ∠А₁, ∠С₁;

в) А₁В₁, СD.

По условию задачи, четырехугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ подобны. Это означает, что их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Соответствие вершин: $A \leftrightarrow A_1$, $B \leftrightarrow B_1$, $C \leftrightarrow C_1$, $D \leftrightarrow D_1$.

а) Коэффициент подобия $k$ — это отношение длин соответственных сторон. Из данных рисунка известны длины соответственных сторон $AD$ и $A_1D_1$: $AD = 6$, $A_1D_1 = 12$.
Найдем коэффициент подобия $k$ как отношение стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ к соответствующей стороне четырехугольника $ABCD$:
$k = \frac{A_1D_1}{AD} = \frac{12}{6} = 2$
Ответ: 2.

б) В подобных многоугольниках соответственные углы равны.
Угол $\angle A_1$ соответствует углу $\angle A$. Из рисунка видно, что $\angle A = 90^{\circ}$. Следовательно, $\angle A_1 = \angle A = 90^{\circ}$.
Угол $\angle C_1$ соответствует углу $\angle C$. Из рисунка известно, что $\angle C = 100^{\circ}$. Следовательно, $\angle C_1 = \angle C = 100^{\circ}$.
Ответ: $\angle A_1 = 90^{\circ}$, $\angle C_1 = 100^{\circ}$.

в) Для нахождения длин неизвестных сторон используем коэффициент подобия $k=2$.
Сторона $A_1B_1$ соответствует стороне $AB$. Мы знаем, что $AB = 4$. Тогда:
$\frac{A_1B_1}{AB} = k \implies A_1B_1 = k \cdot AB = 2 \cdot 4 = 8$.
Сторона $CD$ соответствует стороне $C_1D_1$. Мы знаем, что $C_1D_1 = 10$. Тогда:
$\frac{C_1D_1}{CD} = k \implies CD = \frac{C_1D_1}{k} = \frac{10}{2} = 5$.
Ответ: $A_1B_1 = 8$, $CD = 5$.