Номер 1293, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1293, страница 330.

1293 Даны две пересекающиеся прямые и точка О, не лежащая ни на одной из них. Используя центральную симметрию, постройте прямую, проходящую через точку О, так, чтобы отрезок этой прямой, отсекаемый данными прямыми, делился точкой О пополам.

Обозначим данные пересекающиеся прямые как $l$ и $m$, а данную точку — $O$. Искомая прямая $p$ должна проходить через точку $O$. Пусть она пересекает прямую $l$ в точке $A$ и прямую $m$ в точке $B$. Согласно условию, точка $O$ должна быть серединой отрезка $AB$.

Из определения центральной симметрии следует, что если $O$ — середина отрезка $AB$, то точки $A$ и $B$ симметричны друг другу относительно центра $O$. Это можно записать как $B = S_O(A)$, где $S_O$ — центральная симметрия с центром в точке $O$.

Анализ

Для решения задачи методом геометрических построений проведем анализ. Предположим, что искомая прямая $p$ построена. Она проходит через $O$ и пересекает $l$ в точке $A$ и $m$ в точке $B$ так, что $O$ — середина $AB$. Так как точка $A$ лежит на прямой $l$, а точка $B$ симметрична ей относительно $O$, то точка $B$ должна лежать на прямой $l'$, которая является образом прямой $l$ при центральной симметрии относительно точки $O$ ($l' = S_O(l)$). В то же время, по условию, точка $B$ лежит на прямой $m$. Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямой $m$ и прямой $l'$. Найдя точку $B$, мы можем построить искомую прямую $p$, проведя ее через точки $O$ и $B$.

Алгоритм построения

1. Строим прямую $l'$, симметричную прямой $l$ относительно точки $O$. По свойству центральной симметрии, прямая $l'$ будет параллельна прямой $l$ ($l' \parallel l$). Для ее построения достаточно:
   • Выбрать на прямой $l$ произвольную точку $P$.
   • Построить точку $P'$, симметричную точке $P$ относительно $O$ (для этого проводим луч $PO$ и откладываем на нем от точки $O$ отрезок $OP'$, равный $OP$).
   • Через точку $P'$ провести прямую $l'$, параллельную прямой $l$.
2. Находим точку $B$, которая является точкой пересечения построенной прямой $l'$ и данной прямой $m$. Так как по условию прямые $l$ и $m$ пересекаются, а $l' \parallel l$, то прямые $l'$ и $m$ также пересекаются в единственной точке.
3. Проводим прямую $p$ через найденную точку $B$ и данную точку $O$. Эта прямая и является искомой.

Доказательство

Пусть построенная прямая $p$ (проходящая через $B$ и $O$) пересекает прямую $l$ в точке $A$. Докажем, что $O$ — середина отрезка $AB$. По построению, точка $B$ принадлежит прямой $l'$. Прямая $l'$ по определению является множеством всех точек, симметричных точкам прямой $l$ относительно центра $O$. Это означает, что точка $A'$, симметричная точке $B$ относительно $O$, должна лежать на прямой $l$. По определению симметрии относительно точки, точки $B$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой, и при этом $BO = OA'$. Эта прямая, проходящая через $B$ и $O$, и есть наша построенная прямая $p$. Следовательно, точка $A'$ лежит и на прямой $p$, и на прямой $l$. Значит, $A'$ является точкой их пересечения. Но по нашему определению, точка пересечения прямых $p$ и $l$ — это точка $A$. Таким образом, $A' = A$. Поскольку $A$ — это точка, симметричная $B$ относительно $O$, точка $O$ является серединой отрезка $AB$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Для построения искомой прямой нужно построить образ $l'$ одной из данных прямых ($l$) относительно точки $O$. Затем найти точку пересечения $B$ этого образа $l'$ с другой данной прямой $m$. Искомая прямая проходит через точку пересечения $B$ и точку $O$.