Номер 1295, страница 331 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1295 Даны параллельные прямые b и с и точка А, не лежащая ни на одной из них. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых b и с. Сколько решений имеет задача?

Решение

Допустим, что задача решена и искомый треугольник ABC построен (рис. 380, а). При повороте плоскости вокруг точки А на 60° по часовой стрелке вершина В отображается в вершину С, поэтому прямая b отображается на прямую b₁, проходящую через точку С. Прямую b₁ легко построить, не пользуясь точками В и C (см. задачу 1268). Построив прямую b₁, находим точку С, в которой прямая b₁ пересекается с прямой с. Затем, построив окружность с центром A радиуса AC, находим точку В. На рисунке 380, а выполнено построение.

Задача имеет два решения, одно из которых получается при повороте плоскости вокруг точки А на 60° по часовой стрелке (△ABС на рисунке 380, а), а другое — при повороте плоскости на угол 60° против часовой стрелки (△AB′С′ на рисунке 380, б).

Для решения данной задачи используется метод геометрических преобразований, а именно поворот плоскости вокруг точки $A$.

Предположим, что искомый равносторонний треугольник $ABC$ уже построен. В равностороннем треугольнике все стороны равны и все углы равны $60^{\circ}$. Следовательно, мы имеем $AB = AC$ и угол $\angle BAC = 60^{\circ}$.

Это означает, что вершина $C$ является образом вершины $B$ при повороте вокруг центра $A$ на угол $60^{\circ}$. Такой поворот может быть выполнен в двух направлениях: по часовой стрелке и против часовой стрелки. Это свойство и является ключом к построению.

Поскольку существует два возможных направления поворота, мы можем построить два разных треугольника, удовлетворяющих условию. Рассмотрим алгоритм построения для одного из случаев (например, поворота против часовой стрелки).

1. Выполним поворот прямой $b$ вокруг точки $A$ на угол $60^{\circ}$ против часовой стрелки. При повороте прямая переходит в прямую. Назовем полученную прямую $b_1$.
2. Так как точка $B$ по условию лежит на прямой $b$, ее образ при указанном повороте — точка $C$ — должен лежать на прямой $b_1$.
3. В то же время, по условию задачи, точка $C$ лежит на прямой $c$. Следовательно, искомая вершина $C$ является точкой пересечения прямых $b_1$ и $c$.
4. Находим точку $C$ как пересечение $b_1 \cap c$. Поскольку прямые $b$ и $c$ параллельны, а прямая $b_1$ получена поворотом $b$ на $60^{\circ}$, то $b_1$ не параллельна $c$, и они пересекутся в единственной точке.
5. После того как вершина $C$ найдена, мы можем найти вершину $B$. Точка $B$ является прообразом точки $C$ при нашем повороте. Для этого нужно повернуть точку $C$ вокруг центра $A$ на тот же угол $60^{\circ}$, но в обратном направлении — по часовой стрелке.
6. Соединив точки $A$, $B$ и $C$, мы получаем первый искомый равносторонний треугольник.

Для построения второго решения необходимо повторить все шаги, но в качестве преобразования использовать поворот на $60^{\circ}$ по часовой стрелке. Это даст нам новый образ прямой $b$, новую точку пересечения $C'$ и, соответственно, новую вершину $B'$, образуя второй равносторонний треугольник $AB'C'$.

Как показано в алгоритме построения, решение задачи сводится к нахождению точки пересечения прямой $c$ и образа прямой $b$, полученного в результате поворота вокруг точки $A$.

Существует два нетривиальных поворота на $60^{\circ}$ вокруг точки $A$:

• на $60^{\circ}$ по часовой стрелке;
• на $60^{\circ}$ против часовой стрелки.

В общем случае, при повороте прямой $b$ на угол $60^{\circ}$ (в любом направлении), полученная прямая-образ ($b_1$ или $b'_1$) не будет параллельна исходной прямой $b$. Так как по условию $c \parallel b$, то прямая-образ также не будет параллельна прямой $c$. Две непараллельные прямые на плоскости пересекаются ровно в одной точке.

Каждый из двух поворотов приводит к своему уникальному решению. Таким образом, в общем случае задача имеет два решения.

Исключительная ситуация (бесконечное число решений) могла бы возникнуть, если бы прямая $c$ оказалась образом прямой $b$ при повороте на $60^{\circ}$ вокруг $A$. В этом случае прямые $b_1$ и $c$ совпали бы. Однако для этого требуется строго определенное взаимное расположение точки $A$ и прямых $b$ и $c$, что не является общим случаем.

Ответ: В общем случае задача имеет два решения.