Номер 1288, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1288, страница 329.

1288 Даны острый угол ABC и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.

Пусть дан острый угол $ABC$ и точка $D$ внутри него. Требуется найти на сторонах $BA$ и $BC$ соответственно точки $E$ и $F$ так, чтобы периметр треугольника $DEF$, равный $P = DE + EF + FD$, был наименьшим. Для решения задачи используем метод осевой симметрии.

Сначала построим точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно прямой, содержащей сторону $BA$. Затем построим точку $D''$, симметричную точке $D$ относительно прямой, содержащей сторону $BC$.

По свойству осевой симметрии, для любой точки $E$ на прямой $BA$ будет справедливо равенство $DE = D'E$. Аналогично, для любой точки $F$ на прямой $BC$ будет справедливо равенство $FD = FD''$.

Таким образом, периметр треугольника $DEF$ можно выразить как сумму длин отрезков $D'E$, $EF$ и $FD''$: $P = D'E + EF + FD''$. Эта сумма представляет собой длину ломаной линии $D'EFD''$.

Поскольку положение точек $D'$ и $D''$ зафиксировано (оно зависит только от исходных данных — угла и точки $D$), то задача сводится к нахождению такого положения точек $E$ и $F$ на сторонах угла, при котором ломаная $D'EFD''$ имеет наименьшую длину. Кратчайшее расстояние между двумя точками, $D'$ и $D''$, — это длина отрезка прямой, их соединяющего. Следовательно, наименьшее значение периметра достигается, когда точки $E$ и $F$ лежат на отрезке $D'D''$.

Отсюда следует алгоритм построения искомых точек: нужно соединить точки $D'$ и $D''$ отрезком. Точка пересечения этого отрезка со стороной $BA$ и будет искомой точкой $E$, а точка пересечения со стороной $BC$ — искомой точкой $F$. Наименьший периметр будет равен длине отрезка $D'D''$. Условие, что угол $ABC$ — острый, обеспечивает, что отрезок $D'D''$ пересечет именно лучи $BA$ и $BC$.

Ответ: Чтобы найти искомые точки $E$ и $F$, необходимо построить точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно прямой $BA$, и точку $D''$, симметричную точке $D$ относительно прямой $BC$. Точка $E$ будет являться точкой пересечения отрезка $D'D''$ со стороной $BA$, а точка $F$ — точкой пересечения этого же отрезка со стороной $BC$.