Номер 1292, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1292, страница 330.
№1292 (с. 330)
Условие. №1292 (с. 330)
скриншот условия

1292 В окружность с центром О вписаны два равносторонних треугольника ABC и A₁B₁C₁, причём вершины обозначены так, что направление обхода по дуге ABC от точки А к точке С совпадает с направлением обхода по дуге А₁В₁С₁ от точки А₁ к точке С₁. Используя поворот вокруг точки О, докажите, что прямые AA₁, BB₁ и СС₁ либо проходят через точку О, либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
Решение 2. №1292 (с. 330)

Решение 3. №1292 (с. 330)

Решение 4. №1292 (с. 330)

Решение 6. №1292 (с. 330)


Решение 7. №1292 (с. 330)

Решение 9. №1292 (с. 330)


Решение 11. №1292 (с. 330)
Пусть дана окружность с центром в точке $O$. В эту окружность вписаны два равносторонних треугольника $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Поскольку оба треугольника равносторонние и вписаны в одну и ту же окружность, они конгруэнтны. Условие о том, что направление обхода по дуге $ABC$ от точки $A$ к точке $C$ совпадает с направлением обхода по дуге $A_1B_1C_1$ от точки $A_1$ к точке $C_1$, означает, что треугольники имеют одинаковую ориентацию. Следовательно, треугольник $A_1B_1C_1$ может быть получен из треугольника $ABC$ поворотом вокруг центра окружности $O$ на некоторый угол $\alpha$.
Обозначим этот поворот как $R_O^\alpha$. Тогда по определению поворота:
$R_O^\alpha(A) = A_1$
$R_O^\alpha(B) = B_1$
$R_O^\alpha(C) = C_1$
Угол $\alpha$ равен углу $\angle AOA_1$. Из свойств поворота следует, что также $\angle BOB_1 = \alpha$ и $\angle COC_1 = \alpha$.Рассмотрим два возможных случая.
1. Случай, когда прямые проходят через центр $O$.
Прямая $AA_1$ проходит через центр $O$ тогда и только тогда, когда точки $A$, $O$, $A_1$ лежат на одной прямой. Поскольку точки $A$ и $A_1$ лежат на окружности, это означает, что они диаметрально противоположны. В этом случае угол поворота $\alpha = \angle AOA_1 = 180^\circ$.
Если угол поворота $\alpha = 180^\circ$, то поворот $R_O^{180^\circ}$ является центральной симметрией относительно точки $O$. Тогда не только $A_1$ является точкой, симметричной $A$ относительно $O$, но и $B_1 = R_O^{180^\circ}(B)$ и $C_1 = R_O^{180^\circ}(C)$. Это означает, что отрезки $BB_1$ и $CC_1$ также являются диаметрами окружности. Следовательно, все три прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ проходят через центр $O$.
Таким образом, если хотя бы одна из прямых $AA_1, BB_1, CC_1$ проходит через центр $O$, то и две другие проходят через $O$. Это происходит при угле поворота $\alpha = 180^\circ$.
2. Случай, когда прямые пересекаются, образуя треугольник.
Этот случай имеет место, когда угол поворота $\alpha \neq 180^\circ$ (и $\alpha \neq 0^\circ$, чтобы треугольники не совпадали).В этом случае прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ не проходят через центр $O$. Они также не могут быть параллельны друг другу. Следовательно, они попарно пересекаются. Обозначим точки их пересечения:
$P = BB_1 \cap CC_1$
$Q = CC_1 \cap AA_1$
$R = AA_1 \cap BB_1$
Нам нужно доказать, что треугольник $PQR$ является равносторонним. Для этого воспользуемся поворотом вокруг точки $O$ на угол $120^\circ$, который переводит равносторонний треугольник $ABC$ в себя. Пусть $R_O^{120^\circ}$ — такой поворот, что $R_O^{120^\circ}(A) = B$, $R_O^{120^\circ}(B) = C$, и $R_O^{120^\circ}(C) = A$.
Рассмотрим, как этот поворот действует на прямые $AA_1, BB_1, CC_1$.Найдём образ прямой $AA_1$ при повороте $R_O^{120^\circ}$. Образом точки $A$ является точка $B$. Образом точки $A_1$ является точка $R_O^{120^\circ}(A_1) = R_O^{120^\circ}(R_O^\alpha(A)) = R_O^{\alpha+120^\circ}(A)$.С другой стороны, точка $B_1$ определяется как $B_1 = R_O^\alpha(B) = R_O^\alpha(R_O^{120^\circ}(A)) = R_O^{\alpha+120^\circ}(A)$.Таким образом, $R_O^{120^\circ}(A_1) = B_1$.Поскольку поворот переводит точки $A$ и $A_1$ в точки $B$ и $B_1$ соответственно, он переводит прямую $AA_1$ в прямую $BB_1$.
Аналогично доказывается, что поворот $R_O^{120^\circ}$ переводит прямую $BB_1$ в прямую $CC_1$ и прямую $CC_1$ в прямую $AA_1$.
Теперь найдем образы вершин треугольника $PQR$ при повороте $R_O^{120^\circ}$.Точка $P$ является пересечением прямых $BB_1$ и $CC_1$. Ее образ $R_O^{120^\circ}(P)$ должен лежать на пересечении образов этих прямых:$R_O^{120^\circ}(P) = R_O^{120^\circ}(BB_1 \cap CC_1) = R_O^{120^\circ}(BB_1) \cap R_O^{120^\circ}(CC_1) = CC_1 \cap AA_1 = Q$.
Аналогично для точки $Q$:$R_O^{120^\circ}(Q) = R_O^{120^\circ}(CC_1 \cap AA_1) = R_O^{120^\circ}(CC_1) \cap R_O^{120^\circ}(AA_1) = AA_1 \cap BB_1 = R$.
И для точки $R$:$R_O^{120^\circ}(R) = R_O^{120^\circ}(AA_1 \cap BB_1) = R_O^{120^\circ}(AA_1) \cap R_O^{120^\circ}(BB_1) = BB_1 \cap CC_1 = P$.
Таким образом, поворот на $120^\circ$ вокруг точки $O$ циклически переставляет вершины треугольника $PQR$: $P \to Q \to R \to P$. Это означает, что треугольник $PQR$ совмещается сам с собой при повороте на $120^\circ$ вокруг точки $O$. Любой треугольник, обладающий таким свойством, является равносторонним, а точка $O$ — его центром.
Итак, мы показали, что прямые $AA_1, BB_1$ и $CC_1$ либо все проходят через точку $O$ (при $\alpha = 180^\circ$), либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник (при $\alpha \neq 180^\circ$).
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1292 расположенного на странице 330 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1292 (с. 330), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.