Номер 1290, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1290, страница 330.

1290 На сторонах AB и CD параллелограмма ABCD построены квадраты так, как показано на рисунке 378. Используя параллельный перенос, докажите, что отрезок, соединяющий центры этих квадратов, равен и параллелен стороне AD.

Обозначим центры квадратов, построенных на сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма, как $O_1$ и $O_2$ соответственно.

Для доказательства используем параллельный перенос на вектор $\vec{AD}$.

При параллельном переносе на вектор $\vec{AD}$ точка $A$ по определению переходит в точку $D$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то его противоположные стороны равны и параллельны, следовательно, векторы, их задающие, равны: $\vec{AD} = \vec{BC}$. Это означает, что при параллельном переносе на вектор $\vec{AD}$ точка $B$ перейдет в точку $C$.

Таким образом, отрезок $AB$ при данном параллельном переносе переходит в отрезок $DC$.

Параллельный перенос является движением, то есть сохраняет расстояния и углы. Следовательно, квадрат, построенный на стороне $AB$, перейдет в равный ему квадрат, построенный на стороне $DC$. Так как квадраты на сторонах $AB$ и $CD$ по условию построены одинаковым образом (внешним по отношению к параллелограмму), то образ квадрата на стороне $AB$ полностью совпадет с квадратом, построенным на стороне $CD$.

При любом движении, в том числе и при параллельном переносе, центр фигуры переходит в центр ее образа. Это означает, что центр $O_1$ квадрата на стороне $AB$ перейдет в центр $O_2$ квадрата на стороне $CD$.

По определению параллельного переноса, если точка $O_1$ отображается на точку $O_2$ при переносе на вектор $\vec{AD}$, то вектор, соединяющий эти точки, равен вектору переноса:

$\vec{O_1O_2} = \vec{AD}$

Из этого векторного равенства следует, что:

1. Векторы $\vec{O_1O_2}$ и $\vec{AD}$ коллинеарны и сонаправлены, а значит, отрезок $O_1O_2$ параллелен стороне $AD$.
2. Длины векторов равны, то есть $|O_1O_2| = |AD|$.

Таким образом, доказано, что отрезок, соединяющий центры квадратов, равен и параллелен стороне $AD$.

Ответ: Утверждение доказано. Вектор $\vec{O_1O_2}$ равен вектору $\vec{AD}$, из чего следует, что отрезок $O_1O_2$ параллелен стороне $AD$ и его длина равна длине стороны $AD$.