Номер 1289, страница 330 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1289, страница 330.
№1289 (с. 330)
Условие. №1289 (с. 330)
скриншот условия

1289 Медианы АА₁, ВВ₁ и СС₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Точки А₂, В₂ и С₂ являются соответственно серединами отрезков AM, BM и СМ. Докажите, что △А₁B₁С₁ = △А₂В₂С₂.
Решение
Так как M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то AM = 2МА₁. Отсюда, учитывая, что точка А₂ — середина отрезка AM, получаем MA₁ = MA₂, т. е. точки A₁ и А₂ симметричны относительно точки M. Аналогично точки В₁ и В₂, а также точки C₁ и С₂ симметричны относительно точки M. Рассмотрим центральную симметрию относительно точки M. При этой симметрии точки A₁, В₁, С₁ отображаются в точки А₂, В₂, С₂, поэтому треугольник A₁B₁C₁ отображается на треугольник А₂В₂С₂, и, следовательно, △А₂В₂С₂ = △А₁В₁С₁.
Решение 3. №1289 (с. 330)

Решение 4. №1289 (с. 330)

Решение 9. №1289 (с. 330)

Решение 11. №1289 (с. 330)
Докажем, что треугольники $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ равны, используя свойства медиан и центральной симметрии.
1. Анализ положения точек относительно точки M.
Точка $M$ — точка пересечения медиан $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ треугольника $ABC$. Эта точка также называется центроидом треугольника.
По свойству центроида, он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, для медианы $AA_1$ выполняется равенство:
$AM = 2 \cdot MA_1$
По условию задачи, точка $A_2$ является серединой отрезка $AM$. Из этого определения следует, что:
$AM = 2 \cdot MA_2$
Приравнивая два выражения для длины отрезка $AM$, получаем:
$2 \cdot MA_1 = 2 \cdot MA_2$
$MA_1 = MA_2$
Точки $A, A_2, M, A_1$ лежат на одной прямой (медиане $AA_1$). Так как точка $A_2$ лежит на отрезке $AM$, а точка $M$ лежит на отрезке $AA_1$, то точка $M$ находится между точками $A_2$ и $A_1$. Поскольку $M$ равноудалена от точек $A_1$ и $A_2$, она является серединой отрезка $A_1A_2$.
Это означает, что точка $A_2$ симметрична точке $A_1$ относительно центра $M$.
Проводя аналогичные рассуждения для двух других медиан, получаем:
• Для медианы $BB_1$: $BM = 2 \cdot MB_1$. Точка $B_2$ — середина $BM$, поэтому $BM = 2 \cdot MB_2$. Отсюда $MB_1 = MB_2$, и точки $B_1$ и $B_2$ симметричны относительно точки $M$.
• Для медианы $CC_1$: $CM = 2 \cdot MC_1$. Точка $C_2$ — середина $CM$, поэтому $CM = 2 \cdot MC_2$. Отсюда $MC_1 = MC_2$, и точки $C_1$ и $C_2$ симметричны относительно точки $M$.
2. Применение центральной симметрии.
Рассмотрим центральную симметрию с центром в точке $M$. Как мы установили, при этом преобразовании вершины треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ отображаются в вершины треугольника $\triangle A_2B_2C_2$:
$A_1 \rightarrow A_2$
$B_1 \rightarrow B_2$
$C_1 \rightarrow C_2$
Центральная симметрия является видом движения (изометрии). Движение — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Важным свойством любого движения является то, что оно преобразует любую фигуру в равную ей фигуру.
Следовательно, треугольник $\triangle A_2B_2C_2$ является образом треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ при центральной симметрии. Это означает, что эти два треугольника равны.
Ответ: Равенство $\triangle A_1B_1C_1 = \triangle A_2B_2C_2$ доказано, так как треугольник $\triangle A_2B_2C_2$ является образом треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ при центральной симметрии относительно точки $M$, которая является точкой пересечения медиан треугольника $ABC$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1289 расположенного на странице 330 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1289 (с. 330), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.