Номер 1297, страница 338 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Подобие многоугольников. 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1297, страница 338.

1297 Докажите, что если для прямоугольников АВСD и А₁В₁С₁D₁ выполняются равенства АВ = А₁В₁ и ВС = В₁С₁, то прямоугольники равны.

Для доказательства равенства прямоугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ необходимо показать, что их можно совместить наложением. Для многоугольников это равносильно тому, что все их соответствующие стороны и углы равны.

Сравнение сторон
По определению, в прямоугольнике противоположные стороны равны.
Для прямоугольника $ABCD$ имеем: $AB = CD$ и $BC = AD$.
Для прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ имеем: $A_1B_1 = C_1D_1$ и $B_1C_1 = A_1D_1$.
По условию задачи нам дано, что $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$.
Следовательно, мы можем записать цепочки равенств для других пар сторон:
$CD = AB$ и $C_1D_1 = A_1B_1$. Так как $AB = A_1B_1$, то $CD = C_1D_1$.
$AD = BC$ и $A_1D_1 = B_1C_1$. Так как $BC = B_1C_1$, то $AD = A_1D_1$.
Таким образом, все соответствующие стороны двух прямоугольников равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CD = C_1D_1$ и $AD = A_1D_1$.

Сравнение углов
По определению, все углы прямоугольника прямые, то есть равны $90^\circ$.
Для прямоугольника $ABCD$: $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.
Для прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$: $\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = \angle D_1 = 90^\circ$.
Следовательно, все соответствующие углы двух прямоугольников также равны.

Поскольку у прямоугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ все соответствующие стороны и все соответствующие углы равны, то эти прямоугольники равны по определению равенства многоугольников, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.