Номер 1298, страница 338 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 1. Подобие многоугольников. 132. Теоремы о периметрах и площадях подобных многоугольников. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1298, страница 338.

1298 Верны ли утверждения: а) если стороны двух треугольников соответственно равны, то треугольники равны; б) если у двух выпуклых многоугольников стороны соответственно равны, то многоугольники равны? Ответ обоснуйте.

а) Да, утверждение верно. Это утверждение является одним из основных признаков равенства треугольников, известным как третий признак равенства треугольников (по трём сторонам). Он гласит, что если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим два треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Если их стороны соответственно равны, то есть $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$, то по третьему признаку равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Равенство треугольников подразумевает, что у них равны не только соответствующие стороны, но и соответствующие углы. Длины трёх сторон однозначно определяют углы треугольника (например, по теореме косинусов), поэтому фигуры оказываются полностью одинаковыми.
Ответ: да, утверждение верно.

б) Нет, утверждение неверно. Для выпуклых многоугольников, у которых число сторон больше трёх, равенство соответствующих сторон не гарантирует равенства самих многоугольников. В отличие от треугольника, многоугольник с четырьмя и более сторонами не является «жёсткой» фигурой — его углы можно изменять, не меняя длин сторон.
Чтобы это доказать, достаточно привести контрпример. Рассмотрим две четырёхугольные фигуры: квадрат и ромб, не являющийся квадратом.
1. Пусть есть квадрат со стороной $a$. Длины всех его сторон равны $a$, а все углы прямые, то есть равны $90^\circ$.
2. Пусть есть ромб со стороной $a$. Длины всех его сторон также равны $a$. Однако его углы не равны $90^\circ$, например, два противоположных угла равны $60^\circ$, а два других — $120^\circ$.
У этих двух многоугольников (квадрата и ромба) соответствующие стороны равны, но сами фигуры не равны, так как их углы различны. Следовательно, их нельзя совместить наложением.
Ответ: нет, утверждение неверно.