Номер 21, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 21, страница 329.

21 Назовите внутренние симметрии равностороннего треугольника, квадрата, окружности.

Равностороннего треугольника

Внутренние симметрии, или преобразования, совмещающие фигуру с собой, для равностороннего треугольника включают повороты и осевые симметрии (отражения).

Поворотные симметрии: Центром симметрии является точка пересечения его медиан, биссектрис и высот. Существует 3 поворота, совмещающих треугольник с самим собой:
• Поворот на $0^\circ$ (или $360^\circ$) — тождественное преобразование.
• Поворот на $120^\circ$ вокруг центра.
• Поворот на $240^\circ$ вокруг центра.

Осевые симметрии: Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Каждая ось проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны (оси являются высотами треугольника). Отражение относительно любой из этих трёх осей совмещает треугольник с собой.

Итого, у равностороннего треугольника 6 внутренних симметрий.

Ответ: 3 поворотных симметрии (на $0^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$ вокруг центра) и 3 осевые симметрии (отражения относительно трёх его высот).

Квадрата

Внутренние симметрии квадрата также состоят из поворотов и отражений.

Поворотные симметрии: Центром поворотов является точка пересечения диагоналей. Существует 4 поворота, совмещающих квадрат с самим собой:
• Поворот на $0^\circ$
• Поворот на $90^\circ$
• Поворот на $180^\circ$
• Поворот на $270^\circ$

Осевые симметрии: У квадрата 4 оси симметрии.
• Две оси проходят через середины противоположных сторон.
• Две оси совпадают с его диагоналями.
Отражение относительно любой из этих четырёх осей совмещает квадрат с собой.

Итого, у квадрата 8 внутренних симметрий.

Ответ: 4 поворотных симметрии (на $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ вокруг центра) и 4 осевые симметрии (отражения относительно двух осей, проходящих через середины противоположных сторон, и двух диагоналей).

Окружности

Окружность обладает бесконечным числом внутренних симметрий.

Поворотные симметрии: Окружность совместится сама с собой при повороте вокруг её центра на любой угол $\alpha$. Следовательно, у окружности бесконечное множество поворотных симметрий.

Осевые симметрии: Любая прямая, проходящая через центр окружности (то есть любой её диаметр), является её осью симметрии. Поскольку через центр можно провести бесконечное множество прямых, у окружности также бесконечное множество осевых симметрий.

Ответ: Бесконечное множество поворотов вокруг центра на любой угол и бесконечное множество отражений относительно любого диаметра.