Номер 18, страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 14. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 18, страница 329.

18 Какое отображение плоскости называется поворотом?

Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ называется такое отображение плоскоosti на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняются два условия:

1. Расстояние от точки $M$ до центра поворота $O$ равно расстоянию от ее образа $M'$ до центра $O$, то есть $OM = OM'$. Это означает, что точка движется по окружности с центром в $O$.
2. Угол между лучами $OM$ и $OM'$ равен углу поворота $\alpha$, то есть $\angle{MOM'} = \alpha$.

Точка $O$ называется центром поворота, а угол $\alpha$ — углом поворота. Сам центр поворота $O$ при таком преобразовании остается на месте (является неподвижной точкой). Если угол поворота равен $360^\circ$ или кратен $360^\circ$, то каждая точка плоскости переходит сама в себя; такое преобразование называется тождественным.

Направление поворота определяется знаком угла $\alpha$. По договоренности, поворот на положительный угол осуществляется против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке.

Поворот является движением или изометрией, так как он сохраняет расстояния между любыми двумя точками плоскости. Следовательно, любая фигура при повороте переходит в равную ей фигуру.

В декартовой системе координат, если центр поворота совпадает с началом координат $O(0, 0)$, то координаты $(x', y')$ точки $M'$, полученной поворотом точки $M(x, y)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, вычисляются по формулам:
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$
$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Ответ: Поворотом плоскости вокруг данной точки $O$ (центра поворота) на данный угол $\alpha$ (угол поворота) называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается на такую точку $M'$, что расстояние $OM$ равно расстоянию $OM'$, а угол $\angle{MOM'}$ равен $\alpha$.