Страница 329 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

8 Докажите, что при движении треугольник отображается на равный ему треугольник.

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся определением движения и третьим признаком равенства треугольников.

Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, при котором сохраняются расстояния между точками. Это означает, что если любые две точки $M$ и $N$ в результате движения переходят в точки $M'$ и $N'$, то расстояние между $M$ и $N$ равно расстоянию между $M'$ и $N'$ ($MN = M'N'$).

Пусть нам дан произвольный треугольник $\triangle ABC$. Применим к нему некоторое движение. В результате этого движения его вершины $A, B, C$ отобразятся в точки $A', B', C'$ соответственно. Эти три точки также образуют треугольник $\triangle A'B'C'$, так как движение, сохраняя расстояния, не может отобразить три точки, не лежащие на одной прямой (вершины треугольника), в три точки, лежащие на одной прямой (иначе было бы нарушено неравенство треугольника).

Наша задача — доказать, что исходный треугольник $\triangle ABC$ равен полученному треугольнику $\triangle A'B'C'$. Для этого сравним их стороны.

Рассмотрим сторону $AB$ треугольника $\triangle ABC$. Ее длина — это расстояние между точками $A$ и $B$.
Рассмотрим сторону $A'B'$ треугольника $\triangle A'B'C'$. Ее длина — это расстояние между точками $A'$ и $B'$.
Поскольку точки $A'$ и $B'$ являются образами точек $A$ и $B$ при движении, по определению движения расстояние между ними сохраняется. Следовательно, $AB = A'B'$.

Аналогично, применив то же рассуждение к двум другим парам вершин, мы получаем:
- Длина стороны $BC$ равна длине стороны $B'C'$, то есть $BC = B'C'$.
- Длина стороны $AC$ равна длине стороны $A'C'$, то есть $AC = A'C'$.

Таким образом, мы имеем два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых три стороны одного соответственно равны трем сторонам другого:
$AB = A'B'$
$BC = B'C'$
$AC = A'C'$

Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$, что и требовалось доказать.

Ответ: Пусть при движении треугольник $ABC$ отображается на треугольник $A'B'C'$. По определению движения, расстояние между любыми двумя точками сохраняется. Следовательно, стороны исходного треугольника равны соответствующим сторонам полученного треугольника: $AB=A'B'$, $BC=B'C'$ и $AC=A'C'$. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC = \triangle A'B'C'$.

9 Объясните, что такое наложение.

Наложение — это один из фундаментальных методов сравнения геометрических фигур в евклидовой геометрии. Этот метод представляет собой мысленную (или физическую) операцию, при которой одну фигуру перемещают и накладывают на другую таким образом, чтобы они полностью совпали.

Основная идея наложения заключается в следующем: если при наложении одной фигуры $F_1$ на другую фигуру $F_2$ они полностью совмещаются, то есть каждая точка фигуры $F_1$ совпадает с соответствующей точкой фигуры $F_2$, то эти фигуры называются равными (или конгруэнтными). Это означает, что у них одинаковые размеры и форма.

В школьном курсе геометрии метод наложения используется для интуитивного введения понятия равенства фигур и для доказательства первых признаков равенства треугольников. Например, при доказательстве первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) мы мысленно накладываем один треугольник на другой, совмещая соответствующие вершины и стороны, чтобы показать, что и третьи стороны, и остальные углы также совпадут.

С точки зрения более строгой, аксиоматической геометрии, наложение не является строгой операцией. Вместо него используется понятие движения (или изометрии). Движение — это преобразование плоскости (или пространства), сохраняющее расстояния между точками. Две фигуры считаются равными, если одну можно перевести в другую с помощью движения. Основные виды движений:

• Параллельный перенос — сдвиг всех точек фигуры в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
• Поворот — вращение всех точек фигуры вокруг некоторой точки (центра поворота) на определённый угол.
• Осевая симметрия (отражение) — зеркальное отражение фигуры относительно некоторой прямой (оси симметрии).

Таким образом, метод наложения является наглядной и интуитивной интерпретацией строгого математического понятия движения. Он позволяет "проверить" равенство фигур, представив, как одна из них перемещается в пространстве, не изменяя своей формы и размеров, до полного совпадения с другой.

Ответ: Наложение — это мысленное перемещение одной геометрической фигуры с целью совмещения её со второй фигурой для установления их равенства (конгруэнтности). Две фигуры считаются равными, если при наложении они полностью совпадают. В современной математике этому понятию соответствует концепция движения (изометрии), то есть преобразования, сохраняющего расстояния, такого как параллельный перенос, поворот или отражение.

10 Докажите, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Наложение (также известное как движение или изометрия) — это по определению преобразование плоскости, которое сохраняет расстояния между точками. Это означает, что если точки $A$ и $B$ при наложении отображаются в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то расстояние между исходными точками равно расстоянию между их образами: $|AB| = |A'B'|$.

Предположим, что утверждение, которое требуется доказать, неверно. То есть, допустим, что существуют две различные точки $A$ и $B$ (то есть $A \neq B$), которые при наложении отображаются в одну и ту же точку, назовем ее $C$. Таким образом, образ точки $A$ есть $A' = C$, и образ точки $B$ есть $B' = C$.

Поскольку точки $A$ и $B$ по нашему предположению различны, расстояние между ними является положительной величиной: $|AB| > 0$.

Теперь найдем расстояние между образами этих точек, $A'$ и $B'$. Так как $A' = C$ и $B' = C$, то точки $A'$ и $B'$ совпадают. Расстояние между совпадающими точками равно нулю: $|A'B'| = 0$.

Согласно определению наложения, должно выполняться равенство $|AB| = |A'B'|$. Подставив в это равенство найденные нами значения, получаем $|AB| = 0$.

Однако расстояние между точками равно нулю тогда и только тогда, когда эти точки совпадают. Таким образом, из $|AB| = 0$ следует, что $A = B$.

Мы пришли к противоречию. Наше первоначальное условие было, что точки $A$ и $B$ различны ($A \neq B$), а в результате рассуждений мы пришли к выводу, что они должны совпадать ($A = B$). Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным.

Следовательно, исходное утверждение истинно: при наложении различные точки всегда отображаются в различные точки.

Ответ: Утверждение доказано. Если предположить, что две различные точки $A$ и $B$ ($A \neq B$) отображаются в одну и ту же точку $A'$, то расстояние между их образами $|A'A'|$ будет равно нулю. Так как наложение сохраняет расстояние, то расстояние между исходными точками $|AB|$ также должно быть равно нулю. Это, в свою очередь, означает, что $A=B$, что противоречит первоначальному условию. Следовательно, при наложении различные точки отображаются в различные.

11 Докажите, что наложение является движением плоскости.

Для того чтобы доказать, что наложение является движением плоскости, необходимо сопоставить определения этих двух понятий.

Движение плоскости — это преобразование (отображение) плоскости на себя, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками. Иными словами, если при некотором преобразовании $f$ произвольные точки $A$ и $B$ плоскости переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно (то есть $f(A) = A'$ и $f(B) = B'$), то это преобразование является движением, если для любых $A$ и $B$ выполняется равенство: $|AB| = |A'B'|$, где $|AB|$ — расстояние между точками $A$ и $B$.

Наложение в геометрии — это основной, интуитивно понятный способ сравнения фигур. Говорят, что фигура $F_1$ накладывается на фигуру $F_2$, если их можно совместить так, что они полностью совпадут. Когда мы рассматриваем наложение как преобразование всей плоскости на саму себя, мы подразумеваем такое преобразование, при котором любая фигура совмещается со своим образом.

Рассмотрим произвольное наложение как преобразование плоскости. Возьмем две любые точки на плоскости, $A$ и $B$. При этом наложении они перейдут в некоторые точки $A'$ и $B'$. Отрезок $AB$ является геометрической фигурой. При наложении он перейдет в отрезок $A'B'$. По самому определению наложения, эти фигуры (отрезок $AB$ и его образ $A'B'$) должны быть равны, так как они совмещаются. Равенство отрезков означает равенство их длин.

Длина отрезка $AB$ — это расстояние между точками $A$ и $B$. Длина отрезка $A'B'$ — это расстояние между точками $A'$ и $B'$. Таким образом, из того, что наложение сохраняет равенство фигур, следует, что оно сохраняет и длины отрезков, а значит, и расстояния между точками: $|AB| = |A'B'|$.

Так как это равенство выполняется для любых двух точек плоскости $A$ и $B$, то по определению, наложение является движением плоскости.

Ответ: Утверждение доказано. Наложение является преобразованием, сохраняющим расстояния между точками, что полностью соответствует определению движения.

12 Докажите, что любое движение является наложением.

Для доказательства того, что любое движение является наложением, необходимо сначала определить оба понятия, а затем показать, что определение движения влечет за собой свойства наложения.

Определение 1: Движение

Движением называется преобразование плоскости (или пространства), при котором сохраняются расстояния между любыми двумя точками. Это означает, что если произвольные точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$ соответственно, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$:

$$|AB| = |A'B'|$$

Определение 2: Наложение

Наложением называется преобразование, которое переводит любую геометрическую фигуру в равную ей фигуру. Две фигуры считаются равными (конгруэнтными), если их можно совместить друг с другом.

Доказательство

Пусть нам дано произвольное движение $f$. Нам нужно доказать, что это движение является наложением. Согласно определению наложения, мы должны показать, что движение $f$ переводит любую фигуру $F$ в равную ей фигуру $F' = f(F)$.

Для доказательства равенства фигур $F$ и $F'$ достаточно показать, что движение сохраняет не только расстояния, но и углы, так как форма и размер фигуры определяются именно этими параметрами. Рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$, который является частью фигуры $F$ или определяет расположение ее ключевых точек.

Пусть при движении $f$ вершины треугольника $A$, $B$, $C$ переходят в точки $A'$, $B'$, $C'$ соответственно. Эти три точки образуют новый треугольник $\triangle A'B'C'$.

По определению движения, расстояния между вершинами сохраняются:

• Сторона $AB$ переходит в сторону $A'B'$, и их длины равны: $|AB| = |A'B'|$.
• Сторона $BC$ переходит в сторону $B'C'$, и их длины равны: $|BC| = |B'C'|$.
• Сторона $AC$ переходит в сторону $A'C'$, и их длины равны: $|AC| = |A'C'|$.

Таким образом, мы имеем два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, у которых три соответствующие стороны равны. Согласно третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), эти треугольники равны:

$$\triangle ABC = \triangle A'B'C'$$

Из равенства треугольников следует и равенство их соответствующих углов, например, $\angle ABC = \angle A'B'C'$. Это означает, что движение сохраняет углы.

Поскольку любая сложная фигура (например, многоугольник) может быть разбита на треугольники (триангулирована), и движение переводит каждый из этих треугольников в равный ему треугольник, то вся фигура в целом перейдет в равную ей фигуру. Сохранение всех расстояний и углов гарантирует, что форма и размеры фигуры не изменятся.

Следовательно, любое движение $f$ переводит любую фигуру $F$ в равную ей фигуру $F'$. Это в точности соответствует определению наложения.

Таким образом, любое движение является наложением, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что любое движение является наложением. Ключевым моментом доказательства является то, что движение, сохраняя по определению расстояния между точками, переводит любой треугольник в равный ему треугольник по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Так как любая фигура состоит из точек и ее свойства определяются взаимным расположением этих точек, сохранение расстояний и, как следствие, углов, гарантирует, что любая фигура отобразится в равную ей, что и является определением наложения.

13 Верно ли утверждение, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру?

Да, данное утверждение является верным. Это следует непосредственно из определений движения и равных фигур в геометрии.

1. Определение движения:
Движением (или изометрией) называется преобразование фигуры, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя ее точками. То есть, если мы возьмем произвольные точки $A$ и $B$ на фигуре $F_1$, а при движении они отобразятся в точки $A'$ и $B'$ фигуры $F_2$, то длина отрезка $AB$ будет равна длине отрезка $A'B'$.

2. Определение равных фигур:
Две фигуры ($F_1$ и $F_2$) называются равными (или конгруэнтными), если существует движение, которое отображает фигуру $F_1$ на фигуру $F_2$.

Обоснование:
Вопрос "Верно ли, что при движении любая фигура отображается на равную ей фигуру?" по сути является переформулировкой определения равных фигур. Если фигура $F_2$ является образом фигуры $F_1$ при движении, то по определению, эти фигуры равны. Движение сохраняет все метрические характеристики фигуры: длины сторон, величины углов, площади и т.д. Таким образом, фигура-образ является точной копией исходной фигуры, возможно, смещенной или повернутой в пространстве.

Ответ: Да, утверждение верно.

14 Объясните, какая точка называется неподвижной точкой преобразования.

Неподвижной точкой преобразования (или отображения) в геометрии и математике называется точка, которая при этом преобразовании переходит сама в себя. Другими словами, если мы применяем некоторое преобразование ко всем точкам плоскости или пространства, неподвижная точка — это та, которая в результате не меняет своего положения.

Формально, пусть дано некоторое геометрическое преобразование $f$, которое каждой точке $M$ сопоставляет точку $M' = f(M)$. Точка $P$ называется неподвижной для преобразования $f$, если её образ совпадает с ней самой, то есть выполняется равенство:
$f(P) = P$

Рассмотрим несколько классических примеров геометрических преобразований и их неподвижные точки:

Осевая симметрия (отражение относительно прямой): Неподвижными точками являются все точки, лежащие на оси симметрии. Любая точка, не лежащая на оси, отображается в другую точку, симметричную ей относительно этой оси.

Центральная симметрия (отражение относительно точки): Единственной неподвижной точкой является центр симметрии $O$. Любая другая точка $A$ переходит в точку $A'$, так что $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Поворот: При повороте плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$, который не является кратным $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан), единственной неподвижной точкой является центр поворота $O$. Если угол поворота кратен $360^\circ$, то преобразование является тождественным, и каждая точка плоскости неподвижна.

Параллельный перенос: Если перенос задан ненулевым вектором $\vec{v}$, то у такого преобразования нет неподвижных точек, так как каждая точка смещается. Если же перенос осуществляется на нулевой вектор (тождественное преобразование), то все точки плоскости являются неподвижными.

Гомотетия: При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k \ne 1$, единственной неподвижной точкой является центр гомотетии $O$. Если коэффициент $k=1$, то гомотетия является тождественным преобразованием, и все точки неподвижны.

Ответ: Неподвижной точкой преобразования $f$ называется точка $P$, которая при данном преобразовании отображается сама в себя, то есть удовлетворяет условию $f(P) = P$.

15 Существуют ли неподвижные точки при осевой симметрии? центральной симметрии?

Осевая симметрия

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) — это такое преобразование плоскости, при котором любая точка $M$ переходит в симметричную ей точку $M'$ относительно заданной прямой $l$ (оси симметрии). Это означает, что прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $MM'$.

Неподвижной называется точка, которая при преобразовании отображается сама на себя. Найдем такие точки для осевой симметрии.

Пусть точка $A$ лежит на оси симметрии $l$. По определению, ее образ $A'$ должен быть таким, чтобы отрезок $AA'$ был перпендикулярен оси $l$ и делился ею пополам. Поскольку точка $A$ уже принадлежит оси $l$, то расстояние от нее до оси равно нулю. Это условие выполняется только тогда, когда точка $A'$ совпадает с точкой $A$. Следовательно, любая точка, лежащая на оси симметрии, является неподвижной.

Если же точка $B$ не лежит на оси симметрии, то ее образ $B'$ будет находиться по другую сторону от оси, и значит, $B \ne B'$. Таким образом, точки вне оси симметрии не являются неподвижными.

Ответ: да, существуют. Неподвижными точками при осевой симметрии являются все точки, принадлежащие оси симметрии.

Центральная симметрия

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) — это такое преобразование плоскости, при котором любая точка $M$ переходит в симметричную ей точку $M'$ относительно заданной точки $O$ (центра симметрии). Это означает, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

Выясним, существуют ли неподвижные точки при этом преобразовании.

Пусть точка $M$ совпадает с центром симметрии $O$. Ее образ $M'$ должен быть таким, чтобы $O$ была серединой отрезка $OM'$. Это возможно, только если точка $M'$ совпадает с точкой $O$. Таким образом, центр симметрии $O$ является неподвижной точкой.

Пусть теперь точка $N$ не совпадает с центром симметрии $O$. Тогда ее образ $N'$ лежит на прямой $NO$ на таком же расстоянии от $O$, но с противоположной стороны. В этом случае $N' \ne N$, значит, точка $N$ не является неподвижной.

Следовательно, при центральной симметрии существует только одна неподвижная точка.

Ответ: да, существует. При центральной симметрии имеется ровно одна неподвижная точка — это сам центр симметрии.

16 Какое преобразование плоскости называется параллельным переносом на данный вектор?

Параллельным переносом на данный вектор $\vec{a}$ называется такое преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ плоскости отображается на такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$.

Другими словами, все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Направление и расстояние этого смещения задаются вектором переноса $\vec{a}$. Если вектор переноса является нулевым, то преобразование является тождественным, то есть каждая точка остается на своем месте.

В декартовой системе координат, если точка $M$ имеет координаты $(x; y)$ и вектор переноса $\vec{a}$ имеет координаты $(a_1; a_2)$, то точка $M$ перейдет в точку $M'$ с координатами $(x'; y')$, которые вычисляются по формулам:
$x' = x + a_1$
$y' = y + a_2$

Ключевым свойством параллельного переноса является то, что он представляет собой движение (или изометрию). Это значит, что он сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Как следствие, при параллельном переносе любая фигура переходит в равную ей фигуру, а прямые переходят в параллельные им прямые (или в самих себя).

Ответ: Параллельным переносом на данный вектор $\vec{a}$ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ такую, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$.

17 Докажите, что параллельный перенос является движением.

Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками. Чтобы доказать, что параллельный перенос является движением, необходимо показать, что для любых двух точек плоскости расстояние между ними равно расстоянию между их образами в результате этого переноса.

Воспользуемся координатным методом. Пусть на плоскости заданы две произвольные точки: точка A с координатами $(x_A, y_A)$ и точка B с координатами $(x_B, y_B)$.

Квадрат расстояния между точками A и B равен:

$|AB|^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Рассмотрим параллельный перенос, который задается вектором $\vec{p}$ с координатами $(a, b)$. При таком переносе любая точка $(x, y)$ переходит в точку $(x+a, y+b)$.

Следовательно, точка A перейдет в точку A' с координатами $(x_A + a, y_A + b)$.

А точка B перейдет в точку B' с координатами $(x_B + a, y_B + b)$.

Теперь найдем квадрат расстояния между новыми точками A' и B':

$|A'B'|^2 = ((x_B + a) - (x_A + a))^2 + ((y_B + b) - (y_A + b))^2$

Упростим выражения в скобках:

$|A'B'|^2 = (x_B + a - x_A - a)^2 + (y_B + b - y_A - b)^2$

$|A'B'|^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2$

Сравнивая полученные выражения, видим, что $|AB|^2 = |A'B'|^2$. Так как расстояния являются неотрицательными величинами, то и сами расстояния равны:

$|AB| = |A'B'|$

Поскольку мы доказали, что расстояние между двумя произвольно выбранными точками сохраняется при параллельном переносе, это означает, что параллельный перенос по определению является движением.

Ответ: Так как при параллельном переносе расстояние между любыми двумя точками сохраняется, он является движением. Что и требовалось доказать.

18 Какое отображение плоскости называется поворотом?

Поворотом плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ называется такое отображение плоскоosti на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что выполняются два условия:

1. Расстояние от точки $M$ до центра поворота $O$ равно расстоянию от ее образа $M'$ до центра $O$, то есть $OM = OM'$. Это означает, что точка движется по окружности с центром в $O$.
2. Угол между лучами $OM$ и $OM'$ равен углу поворота $\alpha$, то есть $\angle{MOM'} = \alpha$.

Точка $O$ называется центром поворота, а угол $\alpha$ — углом поворота. Сам центр поворота $O$ при таком преобразовании остается на месте (является неподвижной точкой). Если угол поворота равен $360^\circ$ или кратен $360^\circ$, то каждая точка плоскости переходит сама в себя; такое преобразование называется тождественным.

Направление поворота определяется знаком угла $\alpha$. По договоренности, поворот на положительный угол осуществляется против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке.

Поворот является движением или изометрией, так как он сохраняет расстояния между любыми двумя точками плоскости. Следовательно, любая фигура при повороте переходит в равную ей фигуру.

В декартовой системе координат, если центр поворота совпадает с началом координат $O(0, 0)$, то координаты $(x', y')$ точки $M'$, полученной поворотом точки $M(x, y)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки, вычисляются по формулам:
$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$
$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Ответ: Поворотом плоскости вокруг данной точки $O$ (центра поворота) на данный угол $\alpha$ (угол поворота) называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ отображается на такую точку $M'$, что расстояние $OM$ равно расстоянию $OM'$, а угол $\angle{MOM'}$ равен $\alpha$.

19 Докажите, что поворот является движением.

Движением (или изометрией) называется преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между точками. Чтобы доказать, что поворот является движением, нужно показать, что при повороте расстояние между любыми двумя точками не изменяется.

Пусть на плоскости задан поворот с центром в точке O и углом поворота $\alpha$. Возьмем две произвольные точки M и N. В результате этого поворота точка M перейдет в точку M', а точка N — в точку N'. Наша задача — доказать, что расстояние между исходными точками $MN$ равно расстоянию между их образами $M'N'$, то есть $MN = M'N'$.

Рассмотрим два основных случая.

1. Одна из точек (или обе) совпадает с центром поворота O.
Если точка M совпадает с центром O, то при повороте она остается на месте ($M' = M = O$). Точка N переходит в N'. Расстояние между исходными точками равно $MN = ON$. Расстояние между их образами равно $M'N' = ON'$. По определению поворота, расстояние от центра до точки сохраняется, то есть $ON = ON'$. Следовательно, $MN = M'N'$.

2. Ни одна из точек не совпадает с центром поворота.
Рассмотрим треугольники $\triangle MON$ и $\triangle M'ON'$.
Согласно определению поворота:
- Расстояние от центра поворота O до точки M равно расстоянию от центра до ее образа M'. Таким образом, $OM = OM'$.
- Аналогично, расстояние от центра O до точки N равно расстоянию от центра до ее образа N'. Таким образом, $ON = ON'$.

Теперь сравним углы $\angle MON$ и $\angle M'ON'$. Поворот на угол $\alpha$ можно рассматривать как поворот всей фигуры $\angle MON$. Так как поворот является преобразованием, сохраняющим углы, то мера угла между лучами OM и ON будет равна мере угла между их образами, лучами OM' и ON'.
Следовательно, $\angle MON = \angle M'ON'$.

Таким образом, мы сравниваем треугольники $\triangle MON$ и $\triangle M'ON'$ и видим, что у них две стороны и угол между ними соответственно равны: $OM = OM'$, $ON = ON'$ и $\angle MON = \angle M'ON'$.
По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle MON \cong \triangle M'ON'$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $MN$ треугольника $\triangle MON$ равна стороне $M'N'$ треугольника $\triangle M'ON'$. То есть, $MN = M'N'$.

Это рассуждение остается верным и для случая, когда точки O, M, N лежат на одной прямой (вырожденный треугольник). В этом случае их образы O, M', N' также будут лежать на одной прямой, и поскольку $OM=OM'$ и $ON=ON'$, то и расстояние $MN = |OM \pm ON|$ сохранится.

Поскольку мы показали, что для любых двух точек M и N расстояние между ними сохраняется при повороте, это доказывает, что поворот является движением.

Ответ: Для доказательства того, что поворот является движением, необходимо показать, что он сохраняет расстояние между любыми двумя точками M и N. Пусть M' и N' — их образы при повороте с центром O. Рассматривая треугольники $\triangle MON$ и $\triangle M'ON'$, мы устанавливаем, что $OM = OM'$ и $ON = ON'$ (по определению поворота), а также $\angle MON = \angle M'ON'$ (так как поворот сохраняет углы). По первому признаку равенства треугольников, $\triangle MON \cong \triangle M'ON'$. Из этого следует равенство их сторон: $MN = M'N'$. Так как расстояние между любыми двумя точками сохраняется, поворот является движением.

20 Что такое внутренняя симметрия фигуры?

Внутренняя симметрия фигуры — это её фундаментальное свойство совмещаться с самой собой (то есть оставаться неизменной) в результате определённых геометрических преобразований, называемых движениями или изометриями. Изометрическое преобразование сохраняет расстояния между любыми двумя точками фигуры. Таким образом, фигура после преобразования занимает то же самое место в пространстве, что и до него, хотя её отдельные точки могут переместиться.

Все преобразования, которые переводят фигуру в себя, в совокупности образуют её группу симметрий. Основные виды преобразований, задающие внутреннюю симметрию:

Осевая симметрия (или зеркальная симметрия). Это симметрия относительно прямой (оси симметрии) на плоскости или плоскости (плоскости симметрии) в пространстве. При зеркальном отражении относительно этой оси или плоскости фигура переходит сама в себя. Например: равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, прямоугольник — две, квадрат — четыре, а окружность — бесконечное множество.

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки). Это симметрия относительно точки (центра симметрии). Для любой точки $A$ фигуры существует другая точка $A'$ этой же фигуры, такая, что центр симметрии $O$ является серединой отрезка $AA'$. Данное преобразование эквивалентно повороту фигуры на $180^\circ$ вокруг её центра. Например: центральной симметрией обладают параллелограмм, окружность, куб, шар.

Поворотная симметрия. Это симметрия относительно поворота на определённый угол вокруг точки (центра поворота) или прямой (оси поворота). Если фигура совмещается сама с собой при повороте на угол $\alpha$, то она обладает поворотной симметрией. Если наименьший положительный угол такого поворота составляет $\frac{360^\circ}{n}$ (где $n$ — целое число, $n > 1$), то говорят о симметрии n-го порядка. Например: правильный треугольник имеет поворотную симметрию 3-го порядка (повороты на $120^\circ$ и $240^\circ$), а квадрат — 4-го порядка (повороты на $90^\circ, 180^\circ, 270^\circ$).

Таким образом, внутренняя симметрия — это не один конкретный вид симметрии, а общее понятие, которое описывает всю совокупность способов самосовмещения фигуры.

Ответ: Внутренняя симметрия фигуры — это её свойство оставаться неизменной при выполнении одного или нескольких видов геометрических преобразований (движений), таких как отражение относительно оси/плоскости, поворот вокруг центра/оси, или центральная симметрия (поворот на $180^\circ$ вокруг центра).

21 Назовите внутренние симметрии равностороннего треугольника, квадрата, окружности.

Равностороннего треугольника

Внутренние симметрии, или преобразования, совмещающие фигуру с собой, для равностороннего треугольника включают повороты и осевые симметрии (отражения).

Поворотные симметрии: Центром симметрии является точка пересечения его медиан, биссектрис и высот. Существует 3 поворота, совмещающих треугольник с самим собой:
• Поворот на $0^\circ$ (или $360^\circ$) — тождественное преобразование.
• Поворот на $120^\circ$ вокруг центра.
• Поворот на $240^\circ$ вокруг центра.

Осевые симметрии: Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Каждая ось проходит через одну из вершин и середину противоположной стороны (оси являются высотами треугольника). Отражение относительно любой из этих трёх осей совмещает треугольник с собой.

Итого, у равностороннего треугольника 6 внутренних симметрий.

Ответ: 3 поворотных симметрии (на $0^\circ$, $120^\circ$, $240^\circ$ вокруг центра) и 3 осевые симметрии (отражения относительно трёх его высот).

Квадрата

Внутренние симметрии квадрата также состоят из поворотов и отражений.

Поворотные симметрии: Центром поворотов является точка пересечения диагоналей. Существует 4 поворота, совмещающих квадрат с самим собой:
• Поворот на $0^\circ$
• Поворот на $90^\circ$
• Поворот на $180^\circ$
• Поворот на $270^\circ$

Осевые симметрии: У квадрата 4 оси симметрии.
• Две оси проходят через середины противоположных сторон.
• Две оси совпадают с его диагоналями.
Отражение относительно любой из этих четырёх осей совмещает квадрат с собой.

Итого, у квадрата 8 внутренних симметрий.

Ответ: 4 поворотных симметрии (на $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$, $270^\circ$ вокруг центра) и 4 осевые симметрии (отражения относительно двух осей, проходящих через середины противоположных сторон, и двух диагоналей).

Окружности

Окружность обладает бесконечным числом внутренних симметрий.

Поворотные симметрии: Окружность совместится сама с собой при повороте вокруг её центра на любой угол $\alpha$. Следовательно, у окружности бесконечное множество поворотных симметрий.

Осевые симметрии: Любая прямая, проходящая через центр окружности (то есть любой её диаметр), является её осью симметрии. Поскольку через центр можно провести бесконечное множество прямых, у окружности также бесконечное множество осевых симметрий.

Ответ: Бесконечное множество поворотов вокруг центра на любой угол и бесконечное множество отражений относительно любого диаметра.

22 Какая фигура называется полосой? Сколько симметрий имеет полоса?

Какая фигура называется полосой?

Полосой в геометрии называют часть плоскости, которая заключена между двумя параллельными прямыми. Эти прямые, называемые границами полосы, также считаются частью фигуры. Расстояние между границами — это ширина полосы.

Ответ: Полоса — это часть плоскости, ограниченная двумя параллельными прямыми, включая сами прямые.

Сколько симметрий имеет полоса?

Полоса является бесконечной фигурой, поэтому она имеет бесконечное множество симметрий. Симметрия — это преобразование (движение), при котором фигура отображается на саму себя. Основные виды симметрий полосы:

1. Параллельный перенос вдоль направления границ полосы на любой вектор. Поскольку полоса бесконечна в этом направлении, таких переносов бесконечно много.

2. Осевая симметрия относительно средней линии. Средняя линия — это прямая, параллельная границам и равноудаленная от них. Такая ось симметрии только одна.

3. Осевая симметрия относительно любой прямой, перпендикулярной границам. Таких перпендикулярных осей симметрии бесконечно много.

4. Центральная симметрия (поворот на $180^\circ$). Центром симметрии может быть любая точка на средней линии полосы. Таких центров, а значит и поворотов, бесконечно много.

5. Скользящая симметрия. Это композиция отражения относительно средней линии и параллельного переноса вдоль этой линии. Таких преобразований также бесконечно много.

Таким образом, общее число преобразований симметрии для полосы бесконечно.

Ответ: Полоса имеет бесконечное множество симметрий.

23 Как называются орнаменты, при построении которых используется переносная симметрия?

Орнаменты, при построении которых используется переносная симметрия, основаны на периодическом повторении одного и того же фрагмента. Этот основной повторяющийся элемент или мотив называется раппортом.

Переносная симметрия (или параллельный перенос) — это такое преобразование, при котором все точки фигуры смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Математически это можно описать как сдвиг на некоторый вектор $\vec{a}$. Весь орнамент создается путем многократного применения этого переноса к раппорту, то есть его копирования со сдвигом на векторы $k\vec{a}$, где $k$ — целое число.

В зависимости от того, в скольких направлениях происходит повторение, выделяют два основных типа таких орнаментов:

1. Ленточные орнаменты (также известные как бордюры или фризы). В них раппорт повторяется только вдоль одной прямой, то есть используется перенос в одном направлении. Такие орнаменты образуют полосу и широко применяются в архитектуре, на посуде, для украшения краев тканей и обоев.

2. Сетчатые орнаменты. В них раппорт повторяется в двух разных (непараллельных) направлениях, что позволяет полностью замостить плоскость без пробелов и наложений. Примерами могут служить узоры на обоях, тканях, паркете или плитке.

Таким образом, общее название для орнаментов с переносной симметрией зависит от размерности этой симметрии.

Ответ: ленточные орнаменты (также называемые бордюрами или фризами).

24 Как называются орнаменты, при построении которых используется поворотная симметрия?

Орнаменты, в основе построения которых лежит принцип поворотной симметрии, называются розеточными орнаментами или просто розетками.

Поворотная (или радиальная) симметрия — это свойство фигуры или изображения совмещаться с собой при повороте на определенный угол вокруг центральной точки. Эта точка называется центром симметрии. Для того чтобы орнамент обладал поворотной симметрией, его основной элемент (мотив или раппорт) повторяется несколько раз путем поворота вокруг центра.

Угол поворота $\alpha$ вычисляется по формуле $\alpha = \frac{360^\circ}{n}$, где $n$ — это целое число, которое показывает, сколько раз мотив повторяется для создания полного круга. Число $n$ называется порядком симметрии. Например, если элемент повторяется 4 раза, то порядок симметрии равен 4, а угол поворота составляет $90^\circ$.

Основными характеристиками розеточных орнаментов являются: наличие ярко выраженного центра, вокруг которого строится вся композиция; лучеобразное расположение элементов, расходящихся от центра; и частое присутствие, помимо поворотной, еще и зеркальной (осевой) симметрии, где оси симметрии проходят через центр. Классическими примерами розеточных орнаментов служат мандалы в восточной культуре, готические "розы" (круглые витражные окна в соборах), снежинки (обладающие симметрией 6-го порядка), а также многочисленные цветочные и геометрические мотивы в декоративно-прикладном искусстве.

Ответ: розеточные орнаменты (розетки).

1286 Найдите симметрии фигуры F, данной на рисунке 377.

Симметрия фигуры — это преобразование (движение), при котором фигура отображается на саму себя. Для фигуры F, которая является правильной пятиконечной звездой (пентаграммой), существуют два типа симметрий: поворотная и осевая.

Поворотная симметрия

Центром симметрии фигуры F является точка O. Фигура совмещается сама с собой при поворотах вокруг этой точки. Так как звезда имеет 5 одинаковых вершин, расположенных равномерно по окружности, минимальный угол поворота, переводящий фигуру в себя, составляет $360^\circ / 5 = 72^\circ$.

Всего существует 5 поворотных симметрий, которые представляют собой повороты на углы, кратные $72^\circ$:
- Поворот на $72^\circ$
- Поворот на $144^\circ$
- Поворот на $216^\circ$
- Поворот на $288^\circ$
- Поворот на $360^\circ$ (или $0^\circ$), который является тождественным преобразованием (каждая точка остается на месте).

Осевая симметрия

Осевая (зеркальная) симметрия — это симметрия относительно прямой, называемой осью симметрии. При отражении относительно такой оси фигура F отображается на саму себя.

У правильной пятиконечной звезды есть 5 осей симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из 5 вершин (лучей) звезды и ее центр O. Такая прямая делит звезду на две зеркально-симметричные половины.

Ответ: Фигура F имеет следующие симметрии:
• Поворотные симметрии: 5 поворотов вокруг центра O на углы $k \cdot 72^\circ$, где $k$ принимает значения 0, 1, 2, 3, 4. Это повороты на $0^\circ$ (тождественное преобразование), $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$ и $288^\circ$.
• Осевые симметрии: 5 отражений относительно осей симметрии. Каждая ось проходит через одну из вершин звезды и ее центр O.

1287 Даны два произвольных луча h и h₁. Можно ли утверждать, что существует движение, при котором луч h отображается на луч h₁?

Да, можно утверждать, что для любых двух лучей $h$ и $h_1$ существует движение, которое отображает луч $h$ на луч $h_1$.

Докажем это утверждение, предоставив конструктивный способ построения такого движения. Движение (или изометрия) — это преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками. Все лучи являются конгруэнтными (равными) фигурами, так как по определению они неразличимы по форме и размеру (имеют бесконечную длину). Для любых двух конгруэнтных фигур существует движение, переводящее одну фигуру в другую.

Пусть луч $h$ имеет начало в точке $O$, а луч $h_1$ — в точке $O_1$. Искомое движение можно построить как композицию (последовательное выполнение) двух основных движений: параллельного переноса и поворота.

1. Параллельный перенос

Сначала выполним параллельный перенос на вектор $\vec{v} = \vec{OO_1}$. Это движение является изометрией. В результате этого переноса точка $O$ (начало луча $h$) отобразится в точку $O_1$ (начало луча $h_1$), а весь луч $h$ перейдет в некоторый новый луч $h'$, начало которого будет находиться в точке $O_1$.

2. Поворот

После выполнения первого шага мы имеем два луча, $h'$ и $h_1$, с общим началом в точке $O_1$. Теперь выполним поворот вокруг центра $O_1$ на угол $\alpha$, равный углу между лучами $h'$ и $h_1$. Поворот также является движением. В результате этого поворота луч $h'$ полностью совместится с лучом $h_1$. Если после параллельного переноса лучи $h'$ и $h_1$ уже сонаправлены, то угол поворота равен $0^\circ$. Если они направлены в противоположные стороны, угол поворота составляет $180^\circ$.

Поскольку композиция двух движений (в нашем случае, параллельного переноса и поворота) сама является движением, мы построили искомую изометрию, которая отображает луч $h$ на луч $h_1$. Следовательно, для любой пары лучей такое движение всегда существует.

Ответ: Да, можно утверждать, что существует движение, при котором луч $h$ отображается на луч $h_1$.

1288 Даны острый угол ABC и точка D внутри него. Используя осевую симметрию, найдите на сторонах данного угла такие точки Е и F, чтобы треугольник DEF имел наименьший периметр.

Пусть дан острый угол $ABC$ и точка $D$ внутри него. Требуется найти на сторонах $BA$ и $BC$ соответственно точки $E$ и $F$ так, чтобы периметр треугольника $DEF$, равный $P = DE + EF + FD$, был наименьшим. Для решения задачи используем метод осевой симметрии.

Сначала построим точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно прямой, содержащей сторону $BA$. Затем построим точку $D''$, симметричную точке $D$ относительно прямой, содержащей сторону $BC$.

По свойству осевой симметрии, для любой точки $E$ на прямой $BA$ будет справедливо равенство $DE = D'E$. Аналогично, для любой точки $F$ на прямой $BC$ будет справедливо равенство $FD = FD''$.

Таким образом, периметр треугольника $DEF$ можно выразить как сумму длин отрезков $D'E$, $EF$ и $FD''$: $P = D'E + EF + FD''$. Эта сумма представляет собой длину ломаной линии $D'EFD''$.

Поскольку положение точек $D'$ и $D''$ зафиксировано (оно зависит только от исходных данных — угла и точки $D$), то задача сводится к нахождению такого положения точек $E$ и $F$ на сторонах угла, при котором ломаная $D'EFD''$ имеет наименьшую длину. Кратчайшее расстояние между двумя точками, $D'$ и $D''$, — это длина отрезка прямой, их соединяющего. Следовательно, наименьшее значение периметра достигается, когда точки $E$ и $F$ лежат на отрезке $D'D''$.

Отсюда следует алгоритм построения искомых точек: нужно соединить точки $D'$ и $D''$ отрезком. Точка пересечения этого отрезка со стороной $BA$ и будет искомой точкой $E$, а точка пересечения со стороной $BC$ — искомой точкой $F$. Наименьший периметр будет равен длине отрезка $D'D''$. Условие, что угол $ABC$ — острый, обеспечивает, что отрезок $D'D''$ пересечет именно лучи $BA$ и $BC$.

Ответ: Чтобы найти искомые точки $E$ и $F$, необходимо построить точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно прямой $BA$, и точку $D''$, симметричную точке $D$ относительно прямой $BC$. Точка $E$ будет являться точкой пересечения отрезка $D'D''$ со стороной $BA$, а точка $F$ — точкой пересечения этого же отрезка со стороной $BC$.