Страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1258 Начертите отрезок AB и вектор ММ₁. Постройте отрезок A₁B₁, который получается из отрезка AB параллельным переносом на вектор ММ₁.

Для того чтобы построить отрезок $A_1B_1$, который получается из отрезка $AB$ параллельным переносом на вектор $\vec{MM_1}$, необходимо выполнить параллельный перенос его конечных точек, то есть точек $A$ и $B$, на заданный вектор.

Параллельный перенос точки $A$ на вектор $\vec{MM_1}$ дает точку $A_1$, такую что вектор $\vec{AA_1}$ равен вектору $\vec{MM_1}$. Аналогично, параллельный перенос точки $B$ на вектор $\vec{MM_1}$ дает точку $B_1$, такую что $\vec{BB_1} = \vec{MM_1}$.

Равенство векторов, например $\vec{AA_1} = \vec{MM_1}$, означает, что эти векторы сонаправлены (то есть лежат на параллельных прямых или на одной прямой и указывают в одном направлении) и их длины равны ($|AA_1| = |MM_1|$). Геометрически это означает, что четырехугольник $MM_1A_1A$ является параллелограммом (или его вершины лежат на одной прямой).

Таким образом, для построения искомого отрезка $A_1B_1$ следует выполнить следующие шаги:

1. Начертить на плоскости произвольный отрезок $AB$ и произвольный вектор $\vec{MM_1}$.
2. Построить точку $A_1$, образ точки $A$. Для этого с помощью циркуля и линейки через точку $A$ провести прямую, параллельную прямой, содержащей вектор $\vec{MM_1}$. Затем циркулем измерить длину вектора $\vec{MM_1}$ (расстояние $MM_1$) и отложить на построенной прямой от точки $A$ отрезок $AA_1$ этой длины в том же направлении, что и вектор $\vec{MM_1}$.
3. Построить точку $B_1$, образ точки $B$. Аналогично, через точку $B$ провести прямую, параллельную вектору $\vec{MM_1}$. На этой прямой от точки $B$ отложить отрезок $BB_1$, равный по длине вектору $\vec{MM_1}$ и сонаправленный с ним.
4. Соединить полученные точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Построенный отрезок $A_1B_1$ и есть искомый отрезок. В результате такого построения четырехугольник $ABB_1A_1$ является параллелограммом, так как по построению векторы $\vec{AA_1}$ и $\vec{BB_1}$ равны. Из этого следует, что отрезок $A_1B_1$ параллелен отрезку $AB$ и равен ему по длине.

Ответ: Чтобы построить отрезок $A_1B_1$, нужно сначала построить точку $A_1$ — образ точки $A$ при параллельном переносе на вектор $\vec{MM_1}$ (так, чтобы выполнялось векторное равенство $\vec{AA_1} = \vec{MM_1}$), а затем построить точку $B_1$ — образ точки $B$ при том же переносе (так, чтобы $\vec{BB_1} = \vec{MM_1}$). Соединив точки $A_1$ и $B_1$ отрезком, мы получим искомый отрезок $A_1B_1$.

1259 Начертите треугольник ABC, вектор ММ₁, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, параллельный стороне AC. Постройте треугольник A₁B₁C₁, который получается из треугольника ABC параллельным переносом: а) на вектор ММ₁; б) на вектор a.

Для решения задачи сначала выполним начальные построения, описанные в условии. Начертим произвольный треугольник $ABC$. Затем начертим вектор $\vec{MM_1}$, направление которого не параллельно ни одной из сторон треугольника $ABC$. Наконец, начертим вектор $\vec{a}$, параллельный стороне $AC$.

Параллельный перенос фигуры на заданный вектор означает, что каждая точка фигуры смещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение как раз и определяется вектором переноса. Чтобы перенести треугольник, достаточно перенести его вершины, а затем соединить полученные точки отрезками.

Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, получаемый из треугольника $ABC$ параллельным переносом на вектор $\vec{MM_1}$, необходимо каждую вершину треугольника $ABC$ перенести на этот вектор.

Алгоритм построения следующий:

1. Из вершины $A$ откладываем вектор $\vec{AA_1}$, равный вектору $\vec{MM_1}$. Это значит, что $\vec{AA_1}$ должен быть сонаправлен с $\vec{MM_1}$ и иметь ту же длину ($|\vec{AA_1}| = |\vec{MM_1}|$). Точка $A_1$ — это образ точки $A$.
2. Аналогично из вершины $B$ откладываем вектор $\vec{BB_1}$, равный вектору $\vec{MM_1}$, и получаем точку $B_1$.
3. Точно так же из вершины $C$ откладываем вектор $\vec{CC_1}$, равный вектору $\vec{MM_1}$, и получаем точку $C_1$.

Соединив точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками, мы получим искомый треугольник $A_1B_1C_1$.

На рисунке ниже показан пример такого построения. Исходный треугольник $ABC$ изображен серым, а полученный в результате переноса треугольник $A_1B_1C_1$ — синим. Пунктирные линии иллюстрируют перенос вершин.

В результате параллельного переноса получается треугольник, равный исходному ($ \triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC $). Его соответствующие стороны параллельны и равны по длине сторонам исходного треугольника.

Ответ: Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, нужно от каждой вершины треугольника $ABC$ (точек $A, B, C$) отложить векторы, равные вектору $\vec{MM_1}$. Концы этих векторов (точки $A_1, B_1, C_1$) и будут вершинами искомого треугольника $A_1B_1C_1$.

Теперь выполним параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $\vec{a}$. По условию, вектор $\vec{a}$ параллелен стороне $AC$. Построение выполняется аналогично предыдущему пункту.

1. Откладываем от точки $A$ вектор $\vec{AA_1} = \vec{a}$.
2. Откладываем от точки $B$ вектор $\vec{BB_1} = \vec{a}$.
3. Откладываем от точки $C$ вектор $\vec{CC_1} = \vec{a}$.

Соединяем полученные точки $A_1, B_1, C_1$ и получаем искомый треугольник $A_1B_1C_1$.

На рисунке ниже показано это построение.

Особенностью этого случая является то, что перенос осуществляется на вектор, параллельный стороне $AC$. Из-за этого образы вершин $A$ и $C$, то есть точки $A_1$ и $C_1$, будут лежать на прямой, содержащей сторону $AC$. Таким образом, сторона $A_1C_1$ нового треугольника лежит на той же прямой, что и сторона $AC$ исходного треугольника.

Ответ: Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, нужно от каждой вершины треугольника $ABC$ (точек $A, B, C$) отложить векторы, равные вектору $\vec{a}$. Концы этих векторов (точки $A_1, B_1, C_1$) будут вершинами искомого треугольника $A_1B_1C_1$. При этом сторона $A_1C_1$ будет лежать на той же прямой, что и сторона $AC$.

1260 Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и такая точка D на прямой AC, что точка С лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок В₁D, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что четырёхугольник ABB₁D — равнобедренная трапеция.

а)

По условию задачи, нам нужно построить отрезок $B_1D$, который получается из отрезка $BC$ параллельным переносом на вектор $\vec{CD}$.

Параллельный перенос на вектор $\vec{v}$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M_1$, что вектор $\vec{MM_1} = \vec{v}$.

В нашем случае вектором переноса является $\vec{CD}$. Применим этот перенос к точкам отрезка $BC$:

• Точка $C$ переходит в точку $D$, так как вектор, соединяющий $C$ с её образом, должен быть равен $\vec{CD}$.
• Точка $B$ переходит в некоторую точку $B_1$, такую, что вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{CD}$. То есть, $\vec{BB_1} = \vec{CD}$.

Следовательно, отрезок $BC$ переходит в отрезок $B_1D$.

Для построения точки $B_1$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Через точку $B$ провести прямую, параллельную прямой $AC$ (на которой лежит вектор $\vec{CD}$).
2. На этой прямой от точки $B$ отложить отрезок $BB_1$, равный по длине отрезку $CD$. Направление отрезка $BB_1$ должно совпадать с направлением вектора $\vec{CD}$ (то есть от $C$ к $D$).

После нахождения точки $B_1$ мы соединяем её с точкой $D$ и получаем искомый отрезок $B_1D$. Из равенства векторов $\vec{BB_1} = \vec{CD}$ также следует, что четырёхугольник $BCDB_1$ является параллелограммом.

Ответ: Построение заключается в нахождении такой точки $B_1$, что вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{CD}$. Для этого через точку $B$ проводится прямая, параллельная $AC$, и на ней откладывается отрезок $BB_1$, равный $CD$, в том же направлении. Затем точки $B_1$ и $D$ соединяются.

б)

Докажем, что четырёхугольник $ABB_1D$ — равнобедренная трапеция. Для этого необходимо показать, что:
1. $ABB_1D$ является трапецией (то есть две его стороны параллельны, а две другие — нет).
2. Боковые (непараллельные) стороны этой трапеции равны.

1. Доказательство, что $ABB_1D$ — трапеция.
Из построения в пункте а) следует, что $\vec{BB_1} = \vec{CD}$. По определению равных векторов, это означает, что отрезки $BB_1$ и $CD$ параллельны и равны по длине: $BB_1 \parallel CD$ и $BB_1 = CD$.
По условию, точки $A$, $C$, $D$ лежат на одной прямой, поэтому прямая $CD$ совпадает с прямой $AD$. Следовательно, $BB_1 \parallel AD$.
Таким образом, в четырёхугольнике $ABB_1D$ есть пара параллельных сторон, $BB_1$ и $AD$, которые являются его основаниями.
Теперь покажем, что стороны $AB$ и $B_1D$ не параллельны. Отрезок $B_1D$ является образом отрезка $BC$ при параллельном переносе. Следовательно, $B_1D \parallel BC$. Так как $A$, $B$, $C$ являются вершинами треугольника, то стороны $AB$ и $BC$ не параллельны. Отсюда следует, что $AB$ не параллельна $B_1D$.
Поскольку в четырёхугольнике $ABB_1D$ две стороны параллельны, а две другие не параллельны, он является трапецией.

2. Доказательство, что трапеция равнобедренная.
Для этого докажем равенство её боковых сторон $AB$ и $B_1D$.
По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Параллельный перенос является движением (изометрией), а значит, он сохраняет расстояния. Отрезок $B_1D$ получен параллельным переносом отрезка $BC$. Следовательно, их длины равны: $B_1D = BC$.
Сопоставляя два равенства, $AB = BC$ и $B_1D = BC$, получаем, что $AB = B_1D$.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, является равнобедренной.

Таким образом, четырёхугольник $ABB_1D$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Из $\vec{BB_1} = \vec{CD}$ следует, что $BB_1 \parallel AD$, значит, $ABB_1D$ — трапеция. Из того, что $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = BC$) и параллельный перенос сохраняет длины ($BC = B_1D$), следует равенство боковых сторон $AB = B_1D$. Следовательно, трапеция $ABB_1D$ является равнобедренной.

1261 Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигуры, которые получаются из этих фигур параллельным переносом на данный вектор а.

Параллельный перенос на заданный вектор $\vec{a}$ — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка $M$ фигуры смещается в такую точку $M'$, что вектор $\vec{MM'}$ равен вектору $\vec{a}$. Чтобы построить фигуру, полученную в результате параллельного переноса, необходимо перенести на вектор $\vec{a}$ ее определяющие точки.

Треугольник

Пусть дан треугольник $ABC$ и вектор $\vec{a}$. Треугольник однозначно задается тремя своими вершинами. Чтобы построить его образ, нужно: 1. Из каждой вершины треугольника ($A$, $B$ и $C$) отложить вектор, равный вектору $\vec{a}$. В результате этого построения получатся новые точки $A'$, $B'$ и $C'$, для которых выполняется условие $\vec{AA'} = \vec{a}$, $\vec{BB'} = \vec{a}$ и $\vec{CC'} = \vec{a}$. 2. Соединить отрезками полученные точки $A'$, $B'$ и $C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ и будет искомым образом. Он будет равен (конгруэнтен) исходному треугольнику $ABC$.

Ответ: Для построения образа треугольника необходимо перенести на данный вектор $\vec{a}$ все три его вершины и соединить полученные точки отрезками.

Трапеция

Пусть дана трапеция $ABCD$ и вектор $\vec{a}$. Трапеция, как и любой многоугольник, определяется положением своих вершин. Построение ее образа полностью аналогично построению для треугольника. Необходимо: 1. Из каждой из четырех вершин трапеции ($A$, $B$, $C$, $D$) отложить вектор, равный вектору $\vec{a}$. В результате получатся новые вершины $A'$, $B'$, $C'$, $D'$, для которых $\vec{AA'} = \vec{a}$, $\vec{BB'} = \vec{a}$, $\vec{CC'} = \vec{a}$ и $\vec{DD'} = \vec{a}$. 2. Последовательно соединить отрезками полученные точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. Трапеция $A'B'C'D'$ является искомым образом и равна исходной трапеции.

Ответ: Для построения образа трапеции необходимо перенести на данный вектор $\vec{a}$ все четыре ее вершины и последовательно соединить полученные точки отрезками.

Окружность

Окружность определяется положением ее центра и длиной радиуса. При параллельном переносе окружность переходит в окружность того же радиуса. Пусть дана окружность с центром $O$ и радиусом $r$, и вектор $\vec{a}$. Для построения ее образа нужно: 1. Выполнить параллельный перенос центра окружности, точки $O$, на вектор $\vec{a}$, получив точку $O'$ (такую, что $\vec{OO'} = \vec{a}$). 2. Из полученной точки $O'$ как из нового центра построить окружность с тем же радиусом $r$. Эта новая окружность и будет искомым образом.

Ответ: Для построения образа окружности необходимо перенести ее центр на данный вектор $\vec{a}$ и из полученной точки как из нового центра построить окружность того же радиуса.

1262 Даны две пары параллельных прямых: a ∥ a₁, b ∥ b₁, причём a ∦ b. Постройте вектор параллельного переноса, при котором прямые а и b отображаются на прямые а₁ и b₁ соответственно.

Пусть искомый параллельный перенос задается вектором $\vec{p}$. Этот перенос должен отображать прямую $a$ на прямую $a_1$ и прямую $b$ на прямую $b_1$.

По условию задачи, прямые $a$ и $b$ не параллельны ($a \not\parallel b$), а значит, они пересекаются в единственной точке. Обозначим эту точку пересечения как $M$. Таким образом, $M = a \cap b$.

Рассмотрим, куда перейдет точка $M$ при данном параллельном переносе. Так как точка $M$ лежит на прямой $a$, ее образ, назовем его $M'$, должен лежать на прямой $a_1$. Одновременно, так как точка $M$ лежит и на прямой $b$, ее образ $M'$ должен также лежать на прямой $b_1$.

Следовательно, точка $M'$ является точкой пересечения прямых $a_1$ и $b_1$. Из условий $a \parallel a_1$, $b \parallel b_1$ и $a \not\parallel b$ следует, что прямые $a_1$ и $b_1$ также не параллельны и пересекаются в единственной точке. Таким образом, точка $M'$ однозначно определяется как $M' = a_1 \cap b_1$.

По определению параллельного переноса, вектор переноса $\vec{p}$ равен вектору, соединяющему любую точку с ее образом. В нашем случае, он равен вектору $\vec{MM'}$.

Таким образом, алгоритм построения искомого вектора следующий:

1. Найти точку $M$, являющуюся пересечением прямых $a$ и $b$.
2. Найти точку $M'$, являющуюся пересечением прямых $a_1$ и $b_1$.
3. Построить вектор с началом в точке $M$ и концом в точке $M'$. Этот вектор $\vec{MM'}$ и является искомым вектором параллельного переноса.

Ответ: Искомый вектор параллельного переноса есть вектор $\vec{MM'}$, где $M$ — точка пересечения прямых $a$ и $b$, а $M'$ — точка пересечения прямых $a_1$ и $b_1$.

1263 Постройте отрезок A₁B₁, который получается из данного отрезка AB поворотом вокруг данного центра О: а) на 120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки; в) на 180°.

Для построения отрезка $A_1B_1$, который получается из данного отрезка $AB$ поворотом вокруг данного центра $O$, необходимо выполнить поворот его конечных точек, $A$ и $B$, вокруг точки $O$ на заданный угол и в заданном направлении. Затем полученные точки $A_1$ и $B_1$ соединяются отрезком. Поворот является движением, поэтому он сохраняет расстояния, и, следовательно, длина отрезка $A_1B_1$ будет равна длине исходного отрезка $AB$.

Построение выполняется с помощью циркуля и транспортира.

а) на 120° по часовой стрелке

Алгоритм построения:

1. Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$. Получаем отрезок $OA$.
2. С помощью транспортира, установленного в точке $O$, откладываем от луча $OA$ угол, равный $120^\circ$, по направлению движения часовой стрелки. Строим вспомогательный луч $l_A$ из точки $O$.
3. С помощью циркуля измеряем расстояние $OA$. Затем, установив острие циркуля в точку $O$, проводим дугу радиусом $OA$ так, чтобы она пересекла луч $l_A$. Точка пересечения и будет искомой точкой $A_1$. По построению, $OA = OA_1$ и $\angle AOA_1 = 120^\circ$.
4. Аналогичные действия повторяем для точки $B$. Соединяем $B$ и $O$. От луча $OB$ откладываем угол $120^\circ$ по часовой стрелке, строим луч $l_B$. На этом луче находим точку $B_1$ такую, что $OB_1 = OB$.
5. Соединяем полученные точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Ответ: Отрезок $A_1B_1$ построен. Он получен путем поворота точек $A$ и $B$ на $120^\circ$ по часовой стрелке вокруг центра $O$ и соединения их образов $A_1$ и $B_1$.

б) на 75° против часовой стрелки

Алгоритм построения:

1. Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$ отрезком $OA$.
2. С помощью транспортира от луча $OA$ откладываем угол, равный $75^\circ$, против направления движения часовой стрелки. Строим вспомогательный луч $l_A$.
3. На луче $l_A$ откладываем от точки $O$ отрезок $OA_1$, равный по длине отрезку $OA$. Для этого удобно использовать циркуль. По построению, $OA = OA_1$ и $\angle AOA_1 = 75^\circ$.
4. Повторяем те же шаги для точки $B$. Строим точку $B_1$ так, чтобы отрезок $OB_1$ был равен отрезку $OB$, а угол $\angle BOB_1$, отложенный против часовой стрелки, был равен $75^\circ$.
5. Соединяем точки $A_1$ и $B_1$ прямой линией.

Ответ: Отрезок $A_1B_1$ построен. Он получен путем поворота точек $A$ и $B$ на $75^\circ$ против часовой стрелки вокруг центра $O$ и соединения их образов $A_1$ и $B_1$.

в) на 180°

Поворот на $180^\circ$ также называется центральной симметрией относительно центра поворота. Направление вращения (по или против часовой стрелки) в данном случае не имеет значения, так как результат будет одинаковым.

Алгоритм построения:

1. Проводим прямую через точку $A$ и центр $O$.
2. На этой прямой, по другую сторону от точки $O$, откладываем отрезок $OA_1$, равный по длине отрезку $OA$. Точка $A_1$ является образом точки $A$. Точки $A$, $O$ и $A_1$ лежат на одной прямой, при этом $O$ — середина отрезка $AA_1$.
3. Аналогично строим образ точки $B$. Проводим прямую через $B$ и $O$ и на ней находим точку $B_1$ так, чтобы $O$ была серединой отрезка $BB_1$ (то есть $OB_1 = OB$).
4. Соединяем точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Ответ: Отрезок $A_1B_1$ построен. Он получен путем центральной симметрии (или поворота на $180^\circ$) точек $A$ и $B$ относительно центра $O$ и соединения их образов $A_1$ и $B_1$.

1264 Постройте треугольник, который получается из данного треугольника ABC поворотом вокруг точки А на угол 150° против часовой стрелки.

Для построения треугольника, который получается из данного треугольника $ABC$ поворотом вокруг точки $A$ на угол $150^\circ$ против часовой стрелки, необходимо найти образы вершин $A$, $B$ и $C$ при данном преобразовании. Обозначим искомый треугольник как $A_1B_1C_1$.

Построение выполняется в несколько шагов:

1. Нахождение образа вершины A

Точка $A$ является центром поворота. При повороте центр поворота отображается сам на себя, то есть остается неподвижным. Таким образом, образ вершины $A$ совпадает с самой точкой $A$.

$A_1 = A$

2. Построение образа вершины B

Чтобы найти точку $B_1$ — образ точки $B$ при повороте вокруг $A$ на $150^\circ$ против часовой стрелки, нужно выполнить следующие действия:

• Провести отрезок $AB$.
• С помощью транспортира отложить от луча $AB$ угол, равный $150^\circ$, в направлении против часовой стрелки. Построить луч, выходящий из точки $A$ под этим углом.
• С помощью циркуля измерить длину отрезка $AB$.
• Не меняя раствора циркуля, установить его острие в точку $A$ и провести дугу так, чтобы она пересекла построенный на предыдущем шаге луч. Точка пересечения и будет искомой точкой $B_1$.

По определению поворота, $AB = AB_1$ и $\angle BAB_1 = 150^\circ$.

3. Построение образа вершины C

Построение точки $C_1$ — образа точки $C$ — выполняется аналогично построению точки $B_1$:

• Провести отрезок $AC$.
• С помощью транспортира отложить от луча $AC$ угол, равный $150^\circ$, в направлении против часовой стрелки. Построить луч, выходящий из точки $A$ под этим углом.
• С помощью циркуля измерить длину отрезка $AC$.
• Установить острие циркуля в точку $A$ и тем же радиусом провести дугу до пересечения с построенным лучом. Точка пересечения будет искомой точкой $C_1$.

По определению поворота, $AC = AC_1$ и $\angle CAC_1 = 150^\circ$.

4. Построение итогового треугольника

Соединив отрезками полученные точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ (где $A_1$ совпадает с $A$), мы получим искомый треугольник $AB_1C_1$.

Ответ:

Искомый треугольник $AB_1C_1$ строится путем нахождения образов вершин $B$ и $C$ при повороте вокруг точки $A$ на $150^\circ$ против часовой стрелки. Вершина $A$ при этом остается на месте. Точка $B_1$ строится так, что $AB_1 = AB$ и $\angle BAB_1 = 150^\circ$. Точка $C_1$ строится так, что $AC_1 = AC$ и $\angle CAC_1 = 150^\circ$. Треугольник $AB_1C_1$ является результатом поворота треугольника $ABC$.

1265 Точка D является точкой пересечения биссектрис равностороннего треугольника ABC. Докажите, что при повороте вокруг неё на угол 120° треугольник ABC отображается на себя.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению, в равностороннем треугольнике все стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны $60^\circ$ ($\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$).

Точка $D$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$. В равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с медианами, высотами и серединными перпендикулярами. Это означает, что точка $D$ является одновременно центром вписанной окружности (инцентром), центром описанной окружности (циркумцентром), точкой пересечения медиан (центроидом) и точкой пересечения высот (ортоцентром).

Поскольку $D$ — центр описанной окружности, она равноудалена от всех вершин треугольника. Таким образом, расстояния от точки $D$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны между собой (и равны радиусу описанной окружности):
$DA = DB = DC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADB$, $\triangle BDC$ и $\triangle CDA$. Так как $AD$, $BD$ и $CD$ являются биссектрисами углов $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$ соответственно, они делят эти углы пополам:
$\angle DAB = \angle DAC = \frac{1}{2} \angle A = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle DBA = \angle DBC = \frac{1}{2} \angle B = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
$\angle DCB = \angle DCA = \frac{1}{2} \angle C = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Зная два угла в каждом из этих треугольников, мы можем найти третий угол при вершине $D$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
Для $\triangle ADB$: $\angle ADB = 180^\circ - (\angle DAB + \angle DBA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Для $\triangle BDC$: $\angle BDC = 180^\circ - (\angle DBC + \angle DCB) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Для $\triangle CDA$: $\angle CDA = 180^\circ - (\angle DCA + \angle DAC) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Теперь рассмотрим поворот вокруг точки $D$ на угол $120^\circ$. Чтобы доказать, что треугольник $ABC$ отображается на себя, достаточно показать, что его вершины переходят друг в друга.

1. При повороте точки $A$ вокруг центра $D$ на $120^\circ$ она перейдет в точку $A'$, для которой выполняется $DA = DA'$ и $\angle ADA' = 120^\circ$. Мы установили, что $DA = DB$ и $\angle ADB = 120^\circ$. Следовательно, при повороте (например, против часовой стрелки, если вершины пронумерованы в этом порядке) точка $A$ переходит в точку $B$.

2. Аналогично, при повороте точки $B$ вокруг $D$ на $120^\circ$, она перейдет в точку $B'$, для которой $DB = DB'$ и $\angle BDB' = 120^\circ$. Мы знаем, что $DB = DC$ и $\angle BDC = 120^\circ$. Значит, точка $B$ переходит в точку $C$.

3. И, наконец, при повороте точки $C$ вокруг $D$ на $120^\circ$, она перейдет в точку $C'$, для которой $DC = DC'$ и $\angle CDC' = 120^\circ$. Мы знаем, что $DC = DA$ и $\angle CDA = 120^\circ$. Значит, точка $C$ переходит в точку $A$.

Таким образом, при повороте на $120^\circ$ вокруг точки $D$ вершины треугольника $ABC$ переходят друг в друга: $A \to B$, $B \to C$ и $C \to A$. Поскольку положение треугольника однозначно определяется положением его вершин, треугольник $ABC$ отображается сам на себя.

Ответ: Утверждение доказано.

1266 Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.

Пусть дан квадрат $ABCD$, и пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Нам нужно доказать, что при повороте вокруг точки $O$ на угол $90°$ квадрат $ABCD$ отображается сам на себя.

Поворот — это изометрическое преобразование (движение), а значит, он сохраняет расстояния между точками. Чтобы доказать, что квадрат отображается на себя, достаточно показать, что его вершины переходят в его же вершины, так как положение многоугольника однозначно определяется положением его вершин.

Из свойств квадрата известно:

1. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Из этого следуют два важных факта для нашего доказательства:

• Расстояния от центра $O$ до всех вершин равны: $OA = OB = OC = OD$.
• Углы между полудиагоналями равны $90°$: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90°$.

Рассмотрим поворот на $90°$ вокруг центра $O$ (например, против часовой стрелки).

• Вершина A. При повороте на $90°$ вокруг $O$ точка $A$ перейдет в такую точку $A'$, для которой выполняются два условия: расстояние до центра сохранится ($OA' = OA$) и угол поворота составит $90°$ ($\angle AOA' = 90°$). Из свойств квадрата мы видим, что такой точкой является вершина $B$. Следовательно, вершина $A$ отображается на вершину $B$.
• Вершина B. Аналогично, вершина $B$ перейдет в точку $B'$ такую, что $OB' = OB$ и $\angle BOB' = 90°$. Этим условиям удовлетворяет вершина $C$. Значит, $B$ переходит в $C$.
• Вершина C. Вершина $C$ перейдет в точку $C'$ такую, что $OC' = OC$ и $\angle COC' = 90°$. Этой точкой является вершина $D$. Значит, $C$ переходит в $D$.
• Вершина D. Вершина $D$ перейдет в точку $D'$ такую, что $OD' = OD$ и $\angle DOD' = 90°$. Этой точкой является вершина $A$. Значит, $D$ переходит в $A$.

Таким образом, при повороте на $90°$ вокруг точки пересечения диагоналей вершины квадрата переходят в вершины этого же квадрата: $A \to B, B \to C, C \to D, D \to A$.

Поскольку поворот переводит отрезки в равные им отрезки, то стороны квадрата также переходят в стороны этого же квадрата: сторона $AB$ переходит в сторону $BC$, $BC$ в $CD$, $CD$ в $DA$ и $DA$ в $AB$.

Так как все вершины и стороны квадрата отображаются на вершины и стороны того же самого квадрата, весь квадрат отображается на себя. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при повороте квадрата на $90^\circ$ вокруг точки пересечения его диагоналей каждая вершина квадрата переходит в следующую по порядку вершину, а каждая сторона — в следующую по порядку сторону. Совокупность всех точек квадрата при таком преобразовании совпадает с исходной, следовательно, квадрат отображается на себя.

1267 Постройте окружность, которая получается из данной окружности с центром С поворотом вокруг точки О на угол 60° против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпадают; б) точки О и С совпадают.

а) точки $O$ и $C$ не совпадают;

Поворот является движением (изометрией), поэтому при повороте окружность переходит в окружность того же радиуса. Чтобы построить окружность, полученную поворотом, достаточно найти новый центр окружности и сохранить ее радиус.

Новый центр окружности, назовем его $C'$, является образом исходного центра $C$ при заданном повороте вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ против часовой стрелки. Радиус новой окружности $R'$ равен радиусу исходной окружности $R$.

Алгоритм построения:

1. Провести отрезок $OC$, соединяющий центр поворота $O$ и центр данной окружности $C$.
2. Построить луч, исходящий из точки $O$, который образует с лучом $OC$ угол, равный $60^\circ$. Поворот осуществляется против часовой стрелки, поэтому угол откладывается в соответствующем направлении.
3. На построенном луче от точки $O$ отложить отрезок $OC'$, длина которого равна длине отрезка $OC$. Точка $C'$ — это и есть новый центр искомой окружности.
4. Измерить радиус $R$ данной окружности.
5. Построить новую окружность с центром в точке $C'$ и радиусом $R$.

Полученная окружность с центром $C'$ и радиусом $R$ является искомой.

Ответ: Искомая окружность имеет тот же радиус, что и данная, а ее центр $C'$ получается в результате поворота центра $C$ данной окружности вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ против часовой стрелки. Построение выполняется путем нахождения точки $C'$ и последующего чертежа окружности с центром в $C'$ и радиусом, равным радиусу исходной окружности.

б) точки $O$ и $C$ совпадают.

В этом случае центр поворота $O$ совпадает с центром данной окружности $C$. Это означает, что окружность поворачивается вокруг своего собственного центра.

При повороте фигуры вокруг ее центра симметрии (а центр окружности является ее центром симметрии), фигура переходит сама в себя. Каждая точка, лежащая на окружности, при повороте на любой угол вокруг ее центра переместится в другую точку, также лежащую на этой же окружности.

Центр $C$ при повороте вокруг самого себя (так как $O=C$) остается на месте. Радиус окружности при повороте не изменяется. Таким образом, полученная окружность будет иметь тот же центр и тот же радиус, что и исходная, то есть она будет полностью с ней совпадать.

Ответ: Искомая окружность совпадает с данной окружностью.

1268 Постройте прямую а₁, которая получается из прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О.

Решение

а) Построим окружность с центром О, которая касается прямой а (объясните, как это сделать). Пусть M — точка касания. При повороте вокруг точки О эта окружность отображается на себя, а касательная а отображается на некоторую касательную a₁ (объясните почему). Для построения прямой а₁ построим сначала точку М₁, в которую отображается точка M при повороте вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, а затем проведём касательную а₁ к окружности в точке M₁.

a) Прямая a не проходит через точку O.

Поскольку поворот является движением (изометрией), он сохраняет расстояния и углы. Образом прямой при движении является прямая. Следовательно, образом прямой $a$ будет некоторая прямая $a_1$. Для её построения воспользуемся методом, предложенным в условии, и дадим необходимые объяснения.

Объяснение, как построить окружность с центром O, которая касается прямой a.
Касательная к окружности имеет с ней ровно одну общую точку и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Расстояние от центра окружности $O$ до касательной $a$ равно радиусу этой окружности. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.
Следовательно, для построения такой окружности нужно:
1. С помощью циркуля и линейки построить перпендикуляр из точки $O$ к прямой $a$.
2. Обозначить точку их пересечения (основание перпендикуляра) как $M$.
3. Построить окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным длине отрезка $OM$.
Эта окружность будет касаться прямой $a$ в точке $M$.

Объяснение, почему касательная a отображается на некоторую касательную $a_1$.
При повороте вокруг своего центра $O$ окружность отображается сама на себя, так как расстояние от любой её точки до центра $O$ остаётся неизменным. Поворот является движением, а любое движение сохраняет свойство касания (то есть если прямая касалась фигуры, то образ прямой будет касаться образа фигуры).
Исходная прямая $a$ касается построенной окружности в точке $M$. Её образ, прямая $a_1$, будет касаться образа окружности (то есть той же самой окружности) в образе точки касания $M_1$ (где $M_1$ — результат поворота точки $M$). Таким образом, прямая $a_1$ также является касательной к этой окружности.

Построение прямой $a_1$.
1. Опускаем перпендикуляр из точки $O$ на прямую $a$. Находим точку их пересечения $M$.
2. Строим точку $M_1$, которая является образом точки $M$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $60^\circ$ по часовой стрелке. Для этого строим угол $\angle MOM_1 = 60^\circ$ (направление по часовой стрелке) и на его второй стороне откладываем отрезок $OM_1 = OM$.
3. Через точку $M_1$ проводим прямую $a_1$, перпендикулярную радиусу $OM_1$.
Прямая $a_1$ является искомой.

Ответ: Алгоритм построения: 1) опустить перпендикуляр из точки $O$ на прямую $a$ и найти точку их пересечения $M$; 2) повернуть точку $M$ вокруг центра $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке, получив точку $M_1$; 3) провести через точку $M_1$ прямую $a_1$, перпендикулярную отрезку $OM_1$.

б) Прямая a проходит через точку O.

Если прямая $a$ проходит через центр поворота $O$, то точка $O$ при повороте вокруг себя остаётся на месте (является неподвижной). Так как точка $O$ принадлежит прямой $a$, её образ (она сама) должен принадлежать образу прямой $a$, то есть прямой $a_1$. Следовательно, искомая прямая $a_1$ также проходит через точку $O$.

Для однозначного задания прямой необходимы две точки. Одна точка — $O$ — у нас уже есть. Для нахождения второй точки выберем на исходной прямой $a$ любую другую точку $P$, не совпадающую с $O$. Найдём её образ $P_1$ при повороте вокруг $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке.

Построение прямой $a_1$.
1. Выбираем на прямой $a$ произвольную точку $P$ ($P \neq O$).
2. Строим точку $P_1$ — образ точки $P$ при повороте вокруг центра $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке. Для этого строим угол $\angle POP_1 = 60^\circ$ (по часовой стрелке) и на его второй стороне откладываем отрезок $OP_1 = OP$.
3. Проводим прямую через две точки: $O$ и $P_1$.
Эта прямая и есть искомая прямая $a_1$. Угол между прямыми $a$ и $a_1$ будет равен $60^\circ$.

Ответ: Алгоритм построения: 1) выбрать на прямой $a$ любую точку $P$, отличную от $O$; 2) повернуть точку $P$ вокруг точки $O$ на $60^\circ$ по часовой стрелке, получив точку $P_1$; 3) провести прямую через точки $O$ и $P_1$.