Номер 1259, страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот - номер 1259, страница 322.

Условие.

1259 Начертите треугольник ABC, вектор ММ₁, который не параллелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, параллельный стороне AC. Постройте треугольник A₁B₁C₁, который получается из треугольника ABC параллельным переносом: а) на вектор ММ₁; б) на вектор a.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 7.

Решение 9.

Решение 11.

Для решения задачи сначала выполним начальные построения, описанные в условии. Начертим произвольный треугольник $ABC$. Затем начертим вектор $\vec{MM_1}$, направление которого не параллельно ни одной из сторон треугольника $ABC$. Наконец, начертим вектор $\vec{a}$, параллельный стороне $AC$.

Параллельный перенос фигуры на заданный вектор означает, что каждая точка фигуры смещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Это смещение как раз и определяется вектором переноса. Чтобы перенести треугольник, достаточно перенести его вершины, а затем соединить полученные точки отрезками.

а)

Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, получаемый из треугольника $ABC$ параллельным переносом на вектор $\vec{MM_1}$, необходимо каждую вершину треугольника $ABC$ перенести на этот вектор.

Алгоритм построения следующий:

1. Из вершины $A$ откладываем вектор $\vec{AA_1}$, равный вектору $\vec{MM_1}$. Это значит, что $\vec{AA_1}$ должен быть сонаправлен с $\vec{MM_1}$ и иметь ту же длину ($|\vec{AA_1}| = |\vec{MM_1}|$). Точка $A_1$ — это образ точки $A$.
2. Аналогично из вершины $B$ откладываем вектор $\vec{BB_1}$, равный вектору $\vec{MM_1}$, и получаем точку $B_1$.
3. Точно так же из вершины $C$ откладываем вектор $\vec{CC_1}$, равный вектору $\vec{MM_1}$, и получаем точку $C_1$.

Соединив точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ отрезками, мы получим искомый треугольник $A_1B_1C_1$.

На рисунке ниже показан пример такого построения. Исходный треугольник $ABC$ изображен серым, а полученный в результате переноса треугольник $A_1B_1C_1$ — синим. Пунктирные линии иллюстрируют перенос вершин.

В результате параллельного переноса получается треугольник, равный исходному ($ \triangle A_1B_1C_1 \cong \triangle ABC $). Его соответствующие стороны параллельны и равны по длине сторонам исходного треугольника.

Ответ: Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, нужно от каждой вершины треугольника $ABC$ (точек $A, B, C$) отложить векторы, равные вектору $\vec{MM_1}$. Концы этих векторов (точки $A_1, B_1, C_1$) и будут вершинами искомого треугольника $A_1B_1C_1$.

б)

Теперь выполним параллельный перенос треугольника $ABC$ на вектор $\vec{a}$. По условию, вектор $\vec{a}$ параллелен стороне $AC$. Построение выполняется аналогично предыдущему пункту.

1. Откладываем от точки $A$ вектор $\vec{AA_1} = \vec{a}$.
2. Откладываем от точки $B$ вектор $\vec{BB_1} = \vec{a}$.
3. Откладываем от точки $C$ вектор $\vec{CC_1} = \vec{a}$.

Соединяем полученные точки $A_1, B_1, C_1$ и получаем искомый треугольник $A_1B_1C_1$.

На рисунке ниже показано это построение.

Особенностью этого случая является то, что перенос осуществляется на вектор, параллельный стороне $AC$. Из-за этого образы вершин $A$ и $C$, то есть точки $A_1$ и $C_1$, будут лежать на прямой, содержащей сторону $AC$. Таким образом, сторона $A_1C_1$ нового треугольника лежит на той же прямой, что и сторона $AC$ исходного треугольника.

Ответ: Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, нужно от каждой вершины треугольника $ABC$ (точек $A, B, C$) отложить векторы, равные вектору $\vec{a}$. Концы этих векторов (точки $A_1, B_1, C_1$) будут вершинами искомого треугольника $A_1B_1C_1$. При этом сторона $A_1C_1$ будет лежать на той же прямой, что и сторона $AC$.