Номер 1254, страница 319 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения - номер 1254, страница 319.

Условие.

1254 Даны две прямые а и а₁. Докажите, что существует движение, которое отображает прямую а на прямую а₁.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства того, что существует движение, отображающее любую прямую $a$ на любую прямую $a_1$, мы можем рассмотреть различные случаи их взаимного расположения или предоставить общее конструктивное доказательство, которое охватывает все случаи. Воспользуемся вторым подходом, построив искомое движение как композицию двух более простых движений.

Шаг 1: Совмещение одной точки.

Выберем на прямой $a$ произвольную точку $A$. Выберем на прямой $a_1$ произвольную точку $A_1$. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{AA_1}$. Параллельный перенос является движением. При этом переносе точка $A$ отобразится на точку $A_1$, а прямая $a$ отобразится на некоторую прямую $a'$, которая проходит через точку $A_1$ и параллельна прямой $a$ ($a' \parallel a$).

Шаг 2: Совмещение прямых.

После первого шага мы имеем две прямые, $a'$ и $a_1$, которые проходят через одну и ту же точку $A_1$.

• Если прямые $a'$ и $a_1$ совпадают (этот случай имеет место, когда исходные прямые $a$ и $a_1$ были параллельны), то наша задача уже решена. Искомое движение — это выполненный нами параллельный перенос.
• Если прямые $a'$ и $a_1$ не совпадают, они пересекаются в точке $A_1$. Пусть $\alpha$ — это один из углов между ними. Выполним поворот вокруг центра $A_1$ на угол $\alpha$. Поворот также является движением. Этот поворот оставит точку $A_1$ на месте, а прямую $a'$ повернет на угол $\alpha$, в результате чего она совпадет с прямой $a_1$.

Заключение.

Искомое движение является композицией (последовательным выполнением) параллельного переноса и поворота. Поскольку и параллельный перенос, и поворот являются движениями, их композиция также является движением. Это составное движение отображает прямую $a$ на прямую $a_1$. Так как мы смогли построить такое движение для любого начального расположения прямых $a$ и $a_1$, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Для любых двух прямых $a$ и $a_1$ всегда существует движение (например, композиция параллельного переноса и поворота), которое отображает прямую $a$ на прямую $a_1$.