Номер 1255, страница 319 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 14. Преобразования плоскости. Движения. Параграф 1. Преобразования плоскости. 124*. Наложения и движения - номер 1255, страница 319.

Условие.

1255 Докажите, что последовательное выполнение двух движений плоскости является движением плоскости.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства нам необходимо использовать определение движения (или изометрии) плоскости. Движением называется преобразование плоскости, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками.

Пусть у нас есть два движения плоскости, обозначим их как $f_1$ и $f_2$. Это означает, что для любых двух точек $X$ и $Y$ на плоскости выполняются следующие равенства:
$d(f_1(X), f_1(Y)) = d(X, Y)$
$d(f_2(X), f_2(Y)) = d(X, Y)$
Здесь $d(A, B)$ обозначает расстояние между точками $A$ и $B$.

Рассмотрим последовательное выполнение этих двух движений. Это представляет собой композицию преобразований: сначала к точке применяется преобразование $f_1$, а затем к полученному результату применяется преобразование $f_2$. Обозначим это составное преобразование как $F$. Таким образом, для любой точки $X$ на плоскости:
$F(X) = f_2(f_1(X))$

Наша задача — доказать, что преобразование $F$ также является движением. Для этого нужно показать, что оно сохраняет расстояние. Возьмем две произвольные точки на плоскости, $A$ и $B$, и найдем расстояние между их образами $F(A)$ и $F(B)$.

По определению композиции $F$, образы точек $A$ и $B$ вычисляются как:
$F(A) = f_2(f_1(A))$
$F(B) = f_2(f_1(B))$

Следовательно, расстояние между образами $F(A)$ и $F(B)$ равно $d(F(A), F(B)) = d(f_2(f_1(A)), f_2(f_1(B)))$.

Давайте для удобства введем промежуточные точки: $A_1 = f_1(A)$ и $B_1 = f_1(B)$. Тогда наше выражение для расстояния можно переписать так: $d(f_2(A_1), f_2(B_1))$.

Поскольку $f_2$ по условию является движением, оно сохраняет расстояние между точками $A_1$ и $B_1$. Таким образом, мы можем записать:
$d(f_2(A_1), f_2(B_1)) = d(A_1, B_1)$

Теперь вернемся к точкам $A_1$ и $B_1$. Они являются образами исходных точек $A$ и $B$ при первом движении $f_1$. Так как $f_1$ тоже является движением, оно сохраняет расстояние между точками $A$ и $B$:
$d(A_1, B_1) = d(f_1(A), f_1(B)) = d(A, B)$

Теперь мы можем составить цепочку равенств, объединив полученные результаты:
$d(F(A), F(B)) = d(f_2(f_1(A)), f_2(f_1(B))) = d(A_1, B_1) = d(A, B)$

В итоге мы получили, что $d(F(A), F(B)) = d(A, B)$. Это равенство выполняется для любых двух точек $A$ и $B$ на плоскости.

По определению, это означает, что составное преобразование $F$, которое является последовательным выполнением двух движений, также является движением. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Так как каждое из двух движений сохраняет расстояние между точками, их последовательное применение (композиция) также сохраняет расстояние, а значит, является движением.