Номер 1260, страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1260, страница 322.

1260 Даны равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и такая точка D на прямой AC, что точка С лежит на отрезке AD. а) Постройте отрезок В₁D, который получается из отрезка ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что четырёхугольник ABB₁D — равнобедренная трапеция.

а)

По условию задачи, нам нужно построить отрезок $B_1D$, который получается из отрезка $BC$ параллельным переносом на вектор $\vec{CD}$.

Параллельный перенос на вектор $\vec{v}$ — это преобразование, при котором каждая точка $M$ плоскости переходит в такую точку $M_1$, что вектор $\vec{MM_1} = \vec{v}$.

В нашем случае вектором переноса является $\vec{CD}$. Применим этот перенос к точкам отрезка $BC$:

• Точка $C$ переходит в точку $D$, так как вектор, соединяющий $C$ с её образом, должен быть равен $\vec{CD}$.
• Точка $B$ переходит в некоторую точку $B_1$, такую, что вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{CD}$. То есть, $\vec{BB_1} = \vec{CD}$.

Следовательно, отрезок $BC$ переходит в отрезок $B_1D$.

Для построения точки $B_1$ необходимо выполнить следующие действия:

1. Через точку $B$ провести прямую, параллельную прямой $AC$ (на которой лежит вектор $\vec{CD}$).
2. На этой прямой от точки $B$ отложить отрезок $BB_1$, равный по длине отрезку $CD$. Направление отрезка $BB_1$ должно совпадать с направлением вектора $\vec{CD}$ (то есть от $C$ к $D$).

После нахождения точки $B_1$ мы соединяем её с точкой $D$ и получаем искомый отрезок $B_1D$. Из равенства векторов $\vec{BB_1} = \vec{CD}$ также следует, что четырёхугольник $BCDB_1$ является параллелограммом.

Ответ: Построение заключается в нахождении такой точки $B_1$, что вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{CD}$. Для этого через точку $B$ проводится прямая, параллельная $AC$, и на ней откладывается отрезок $BB_1$, равный $CD$, в том же направлении. Затем точки $B_1$ и $D$ соединяются.

б)

Докажем, что четырёхугольник $ABB_1D$ — равнобедренная трапеция. Для этого необходимо показать, что:
1. $ABB_1D$ является трапецией (то есть две его стороны параллельны, а две другие — нет).
2. Боковые (непараллельные) стороны этой трапеции равны.

1. Доказательство, что $ABB_1D$ — трапеция.
Из построения в пункте а) следует, что $\vec{BB_1} = \vec{CD}$. По определению равных векторов, это означает, что отрезки $BB_1$ и $CD$ параллельны и равны по длине: $BB_1 \parallel CD$ и $BB_1 = CD$.
По условию, точки $A$, $C$, $D$ лежат на одной прямой, поэтому прямая $CD$ совпадает с прямой $AD$. Следовательно, $BB_1 \parallel AD$.
Таким образом, в четырёхугольнике $ABB_1D$ есть пара параллельных сторон, $BB_1$ и $AD$, которые являются его основаниями.
Теперь покажем, что стороны $AB$ и $B_1D$ не параллельны. Отрезок $B_1D$ является образом отрезка $BC$ при параллельном переносе. Следовательно, $B_1D \parallel BC$. Так как $A$, $B$, $C$ являются вершинами треугольника, то стороны $AB$ и $BC$ не параллельны. Отсюда следует, что $AB$ не параллельна $B_1D$.
Поскольку в четырёхугольнике $ABB_1D$ две стороны параллельны, а две другие не параллельны, он является трапецией.

2. Доказательство, что трапеция равнобедренная.
Для этого докажем равенство её боковых сторон $AB$ и $B_1D$.
По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. По определению равнобедренного треугольника, его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Параллельный перенос является движением (изометрией), а значит, он сохраняет расстояния. Отрезок $B_1D$ получен параллельным переносом отрезка $BC$. Следовательно, их длины равны: $B_1D = BC$.
Сопоставляя два равенства, $AB = BC$ и $B_1D = BC$, получаем, что $AB = B_1D$.
Трапеция, у которой боковые стороны равны, является равнобедренной.

Таким образом, четырёхугольник $ABB_1D$ — равнобедренная трапеция, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано. Из $\vec{BB_1} = \vec{CD}$ следует, что $BB_1 \parallel AD$, значит, $ABB_1D$ — трапеция. Из того, что $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = BC$) и параллельный перенос сохраняет длины ($BC = B_1D$), следует равенство боковых сторон $AB = B_1D$. Следовательно, трапеция $ABB_1D$ является равнобедренной.