Номер 1266, страница 322 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

§ 2. Параллельный перенос и поворот. 126. Поворот. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1266, страница 322.

1266 Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересечения его диагоналей на угол 90° квадрат отображается на себя.

Пусть дан квадрат $ABCD$, и пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Нам нужно доказать, что при повороте вокруг точки $O$ на угол $90°$ квадрат $ABCD$ отображается сам на себя.

Поворот — это изометрическое преобразование (движение), а значит, он сохраняет расстояния между точками. Чтобы доказать, что квадрат отображается на себя, достаточно показать, что его вершины переходят в его же вершины, так как положение многоугольника однозначно определяется положением его вершин.

Из свойств квадрата известно:

1. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.

Из этого следуют два важных факта для нашего доказательства:

• Расстояния от центра $O$ до всех вершин равны: $OA = OB = OC = OD$.
• Углы между полудиагоналями равны $90°$: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90°$.

Рассмотрим поворот на $90°$ вокруг центра $O$ (например, против часовой стрелки).

• Вершина A. При повороте на $90°$ вокруг $O$ точка $A$ перейдет в такую точку $A'$, для которой выполняются два условия: расстояние до центра сохранится ($OA' = OA$) и угол поворота составит $90°$ ($\angle AOA' = 90°$). Из свойств квадрата мы видим, что такой точкой является вершина $B$. Следовательно, вершина $A$ отображается на вершину $B$.
• Вершина B. Аналогично, вершина $B$ перейдет в точку $B'$ такую, что $OB' = OB$ и $\angle BOB' = 90°$. Этим условиям удовлетворяет вершина $C$. Значит, $B$ переходит в $C$.
• Вершина C. Вершина $C$ перейдет в точку $C'$ такую, что $OC' = OC$ и $\angle COC' = 90°$. Этой точкой является вершина $D$. Значит, $C$ переходит в $D$.
• Вершина D. Вершина $D$ перейдет в точку $D'$ такую, что $OD' = OD$ и $\angle DOD' = 90°$. Этой точкой является вершина $A$. Значит, $D$ переходит в $A$.

Таким образом, при повороте на $90°$ вокруг точки пересечения диагоналей вершины квадрата переходят в вершины этого же квадрата: $A \to B, B \to C, C \to D, D \to A$.

Поскольку поворот переводит отрезки в равные им отрезки, то стороны квадрата также переходят в стороны этого же квадрата: сторона $AB$ переходит в сторону $BC$, $BC$ в $CD$, $CD$ в $DA$ и $DA$ в $AB$.

Так как все вершины и стороны квадрата отображаются на вершины и стороны того же самого квадрата, весь квадрат отображается на себя. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при повороте квадрата на $90^\circ$ вокруг точки пересечения его диагоналей каждая вершина квадрата переходит в следующую по порядку вершину, а каждая сторона — в следующую по порядку сторону. Совокупность всех точек квадрата при таком преобразовании совпадает с исходной, следовательно, квадрат отображается на себя.