Номер 1272, страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

129. Применение движений к решению задач. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1272, страница 327.

1272 Сколько осей симметрии имеет правильный n-угольник?

Количество осей симметрии правильного n-угольника всегда равно n. Чтобы это доказать, рассмотрим два случая в зависимости от четности n.

Случай 1: n — нечетное число

Если число сторон n-угольника нечетное (например, правильный треугольник при $n=3$ или пятиугольник при $n=5$), то каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной ей стороны. Так как у правильного n-угольника n вершин, то и осей симметрии будет ровно n.

Случай 2: n — четное число

Если число сторон n-угольника четное (например, квадрат при $n=4$ или шестиугольник при $n=6$), то оси симметрии бывают двух видов. Первый вид осей проходит через противоположные вершины. Таких осей будет $n/2$, поскольку имеется $n/2$ пар противоположных вершин. Второй вид осей проходит через середины противоположных сторон. Таких осей также будет $n/2$, поскольку имеется $n/2$ пар противоположных сторон. В сумме получаем $n/2 + n/2 = n$ осей симметрии.

Следовательно, для любого правильного n-угольника (при $n \ge 3$) количество осей симметрии равно n.

Ответ: Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.