Номер 1273, страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

129. Применение движений к решению задач. § 3. Симметрии фигур. Глава 14. Преобразования плоскости. Движения - номер 1273, страница 327.

1273 Найдите симметрии а) правильного пятиугольника; б) правильного шестиугольника; в) правильного n-угольника.

Симметриями правильного многоугольника являются геометрические преобразования (повороты, отражения), которые переводят многоугольник в себя. Существует два основных вида симметрий для правильных многоугольников: поворотная и осевая.

а) правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник ($n=5$) обладает следующими симметриями:

1. Поворотная симметрия. Центр правильного пятиугольника является его центром симметрии 5-го порядка. Это значит, что пятиугольник совмещается сам с собой при поворотах вокруг своего центра на углы, кратные $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Всего существует 5 таких поворотов: на углы $0^\circ$ (тождественное преобразование), $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$ и $288^\circ$.

2. Осевая симметрия. Поскольку число вершин у пятиугольника нечетное ($n=5$), все его оси симметрии проходят через одну из вершин и середину противолежащей стороны. Так как вершин 5, то и осей симметрии тоже 5.

Таким образом, у правильного пятиугольника есть один центр симметрии 5-го порядка и 5 осей симметрии.

Ответ: центр симметрии 5-го порядка и 5 осей симметрии.

б) правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник ($n=6$) обладает следующими симметриями:

1. Поворотная симметрия. Центр правильного шестиугольника является его центром симметрии 6-го порядка. Шестиугольник совмещается сам с собой при поворотах вокруг своего центра на углы, кратные $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Всего существует 6 таких поворотов: на углы $0^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$ и $300^\circ$. Поворот на $180^\circ$ является также центральной симметрией, а центр шестиугольника — центром симметрии.

2. Осевая симметрия. Поскольку число вершин у шестиугольника четное ($n=6$), его оси симметрии бывают двух типов. Первый тип осей (3 оси) проходит через противолежащие вершины. Второй тип осей (еще 3 оси) проходит через середины противолежащих сторон. Итого у правильного шестиугольника $3 + 3 = 6$ осей симметрии.

Ответ: центр симметрии 6-го порядка (который также является центром центральной симметрии) и 6 осей симметрии.

в) правильного n-угольника

В общем случае для правильного n-угольника виды и количество симметрий определяются следующим образом:

1. Поворотная симметрия. Центр правильного n-угольника является его центром симметрии n-го порядка. Это означает, что фигура совмещается сама с собой при поворотах вокруг центра на углы $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$. Всего имеется n поворотных симметрий.

2. Осевая симметрия. У правильного n-угольника всегда n осей симметрии. Их расположение зависит от четности n:

- Если n нечетно, то все n осей симметрии проходят через одну из вершин и середину противолежащей ей стороны.

- Если n четно, то $n/2$ осей проходят через пары противолежащих вершин, и еще $n/2$ осей проходят через середины пар противолежащих сторон. В сумме это дает $n/2 + n/2 = n$ осей. Кроме того, при четном n, центр многоугольника является центром центральной симметрии (что соответствует повороту на $180^\circ$).

Ответ: центр симметрии n-го порядка и n осей симметрии. Если n является четным числом, то центр многоугольника также является центром центральной симметрии.