Страница 327 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1271 Найдите симметрии а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба; г) равнобедренной трапеции.

а) параллелограмма;

Параллелограмм обладает центральной симметрией. Центром симметрии является точка пересечения его диагоналей. При повороте на $180^\circ$ вокруг этой точки каждая вершина параллелограмма переходит в противолежащую ей вершину, и, таким образом, вся фигура совмещается сама с собой.

Осевой симметрии (симметрии относительно прямой) у параллелограмма в общем виде нет. Оси симметрии появляются только в частных случаях: у прямоугольника и ромба.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей.

б) прямоугольника;

Прямоугольник, как частный случай параллелограмма, имеет центр симметрии в точке пересечения диагоналей. Поворот на $180^\circ$ вокруг этого центра совмещает прямоугольник с самим собой.

Кроме того, прямоугольник имеет две оси симметрии. Это прямые, проходящие через середины его противолежащих сторон. Каждая из этих прямых является перпендикуляром к паре сторон, которые она пересекает. Диагонали прямоугольника не являются его осями симметрии, за исключением случая, когда прямоугольник является квадратом.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей и две оси симметрии, проходящие через середины его противолежащих сторон.

в) ромба;

Ромб, как и любой параллелограмм, имеет центр симметрии в точке пересечения его диагоналей. Поворот на $180^\circ$ вокруг этой точки отображает ромб на себя.

Ромб также имеет две оси симметрии, которыми являются его диагонали. Поскольку диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам, отражение относительно любой из диагоналей совмещает фигуру с самой собой.

Ответ: Центральная симметрия относительно точки пересечения диагоналей и две оси симметрии, совпадающие с его диагоналями.

г) равнобедренной трапеции.

Равнобедренная трапеция имеет одну ось симметрии. Это прямая, которая проходит через середины двух ее оснований. Отражение относительно этой оси меняет местами вершины у каждого из оснований и совмещает боковые стороны, таким образом отображая трапецию на саму себя.

Центральной симметрии у равнобедренной трапеции, как правило, нет. Это связано с тем, что ее основания имеют разную длину. При повороте на $180^\circ$ фигура не сможет совместиться сама с собой, так как большее основание заняло бы место меньшего, и наоборот.

Ответ: Одна ось симметрии, проходящая через середины оснований.

1272 Сколько осей симметрии имеет правильный n-угольник?

Количество осей симметрии правильного n-угольника всегда равно n. Чтобы это доказать, рассмотрим два случая в зависимости от четности n.

Случай 1: n — нечетное число

Если число сторон n-угольника нечетное (например, правильный треугольник при $n=3$ или пятиугольник при $n=5$), то каждая ось симметрии проходит через одну из вершин и середину противоположной ей стороны. Так как у правильного n-угольника n вершин, то и осей симметрии будет ровно n.

Случай 2: n — четное число

Если число сторон n-угольника четное (например, квадрат при $n=4$ или шестиугольник при $n=6$), то оси симметрии бывают двух видов. Первый вид осей проходит через противоположные вершины. Таких осей будет $n/2$, поскольку имеется $n/2$ пар противоположных вершин. Второй вид осей проходит через середины противоположных сторон. Таких осей также будет $n/2$, поскольку имеется $n/2$ пар противоположных сторон. В сумме получаем $n/2 + n/2 = n$ осей симметрии.

Следовательно, для любого правильного n-угольника (при $n \ge 3$) количество осей симметрии равно n.

Ответ: Правильный n-угольник имеет n осей симметрии.

1273 Найдите симметрии а) правильного пятиугольника; б) правильного шестиугольника; в) правильного n-угольника.

Симметриями правильного многоугольника являются геометрические преобразования (повороты, отражения), которые переводят многоугольник в себя. Существует два основных вида симметрий для правильных многоугольников: поворотная и осевая.

а) правильного пятиугольника

Правильный пятиугольник ($n=5$) обладает следующими симметриями:

1. Поворотная симметрия. Центр правильного пятиугольника является его центром симметрии 5-го порядка. Это значит, что пятиугольник совмещается сам с собой при поворотах вокруг своего центра на углы, кратные $360^\circ / 5 = 72^\circ$. Всего существует 5 таких поворотов: на углы $0^\circ$ (тождественное преобразование), $72^\circ$, $144^\circ$, $216^\circ$ и $288^\circ$.

2. Осевая симметрия. Поскольку число вершин у пятиугольника нечетное ($n=5$), все его оси симметрии проходят через одну из вершин и середину противолежащей стороны. Так как вершин 5, то и осей симметрии тоже 5.

Таким образом, у правильного пятиугольника есть один центр симметрии 5-го порядка и 5 осей симметрии.

Ответ: центр симметрии 5-го порядка и 5 осей симметрии.

б) правильного шестиугольника

Правильный шестиугольник ($n=6$) обладает следующими симметриями:

1. Поворотная симметрия. Центр правильного шестиугольника является его центром симметрии 6-го порядка. Шестиугольник совмещается сам с собой при поворотах вокруг своего центра на углы, кратные $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Всего существует 6 таких поворотов: на углы $0^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$, $180^\circ$, $240^\circ$ и $300^\circ$. Поворот на $180^\circ$ является также центральной симметрией, а центр шестиугольника — центром симметрии.

2. Осевая симметрия. Поскольку число вершин у шестиугольника четное ($n=6$), его оси симметрии бывают двух типов. Первый тип осей (3 оси) проходит через противолежащие вершины. Второй тип осей (еще 3 оси) проходит через середины противолежащих сторон. Итого у правильного шестиугольника $3 + 3 = 6$ осей симметрии.

Ответ: центр симметрии 6-го порядка (который также является центром центральной симметрии) и 6 осей симметрии.

в) правильного n-угольника

В общем случае для правильного n-угольника виды и количество симметрий определяются следующим образом:

1. Поворотная симметрия. Центр правильного n-угольника является его центром симметрии n-го порядка. Это означает, что фигура совмещается сама с собой при поворотах вокруг центра на углы $k \cdot \frac{360^\circ}{n}$, где $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$. Всего имеется n поворотных симметрий.

2. Осевая симметрия. У правильного n-угольника всегда n осей симметрии. Их расположение зависит от четности n:

- Если n нечетно, то все n осей симметрии проходят через одну из вершин и середину противолежащей ей стороны.

- Если n четно, то $n/2$ осей проходят через пары противолежащих вершин, и еще $n/2$ осей проходят через середины пар противолежащих сторон. В сумме это дает $n/2 + n/2 = n$ осей. Кроме того, при четном n, центр многоугольника является центром центральной симметрии (что соответствует повороту на $180^\circ$).

Ответ: центр симметрии n-го порядка и n осей симметрии. Если n является четным числом, то центр многоугольника также является центром центральной симметрии.